解説

方針・初手

直線 $y=mx$ と曲線 $y=f(x)$ の共有点は、方程式

$$ mx=xe^{1-x}

$$

を解けばよい。原点 $x=0$ は常に共有点であるため、原点以外の共有点を調べるには $x\ne 0$ として両辺を $x$ で割る。

面積は、原点以外の共有点の $x$ 座標を $a$ とおき、区間の向きに注意して積分で求める。

解法1

関数は

$$ f(x)=xe^{1-x}

$$

である。

まず導関数を求める。

$$ f'(x)=e^{1-x}+x(-e^{1-x})=(1-x)e^{1-x}

$$

ここで $e^{1-x}>0$ であるから、$f'(x)$ の符号は $1-x$ の符号で決まる。

したがって、

$$ \begin{cases} f'(x)>0 & (x<1),\\ f'(x)=0 & (x=1),\\ f'(x)<0 & (x>1) \end{cases}

$$

である。よって $f(x)$ は $x=1$ で極大値をとり、

$$ f(1)=1\cdot e^0=1

$$

である。

したがって、極大値は $1$、極小値は存在しない。

次にグラフの概形を調べる。

$$ f(0)=0

$$

より、曲線は原点を通る。また、$x\to \infty$ のとき、$t=x-1$ とおくと $t\to \infty$ であり、

$$ f(x)=xe^{1-x} =x e^{-(x-1)} =(t+1)e^{-t} =te^{-t}+e^{-t}

$$

である。問題文で与えられた

$$ \lim_{t\to\infty}te^{-t}=0

$$

と、$\lim_{t\to\infty}e^{-t}=0$ より、

$$ \lim_{x\to\infty}f(x)=0

$$

である。したがって、$x\to\infty$ で $x$ 軸に近づく。

また、

$$ f''(x)=\frac{d}{dx}{(1-x)e^{1-x}} =(x-2)e^{1-x}

$$

であるから、$x=2$ で変曲点をもつ。

以上より、グラフは原点を通り、$x<1$ で増加、$x>1$ で減少し、点 $(1,1)$ で極大値をとる。さらに $x\to\infty$ で $x$ 軸に近づく。

次に、直線 $y=mx$ と曲線 $y=f(x)$ の共有点を調べる。

共有点の $x$ 座標は

$$ mx=xe^{1-x}

$$

を満たす。$x=0$ は常に解であり、これは原点に対応する。

原点以外の共有点をもつには $x\ne 0$ の解が存在すればよい。$x\ne 0$ として両辺を $x$ で割ると、

$$ m=e^{1-x}

$$

となる。右辺は正であるから、まず $m>0$ が必要である。

$m>0$ のとき、

$$ \log m=1-x

$$

より、

$$ x=1-\log m

$$

である。この点が原点以外であるためには、

$$ 1-\log m\ne 0

$$

すなわち

$$ m\ne e

$$

が必要である。

したがって、原点以外に共有点をもつ条件は

$$ m>0,\quad m\ne e

$$

である。

次に、この条件のもとで面積を求める。原点以外の共有点の $x$ 座標を

$$ a=1-\log m

$$

とおく。このとき

$$ m=e^{1-a}

$$

である。

直線と曲線で囲まれる部分は、$x=0$ と $x=a$ の間にできる。

差を計算すると、

$$ f(x)-mx=x(e^{1-x}-m)

$$

である。

**(i)**

$0<m<e$ のとき

このとき $\log m<1$ より $a>0$ である。区間 $0<x<a$ では

$$ e^{1-x}>e^{1-a}=m

$$

であるから、

$$ f(x)-mx>0

$$

である。よって面積 $S$ は

$$ S=\int_0^a {xe^{1-x}-mx},dx

$$

である。

ここで、

$$ \int xe^{1-x},dx=-(x+1)e^{1-x}

$$

より、

$$ \begin{aligned} S &=\left[-(x+1)e^{1-x}-\frac{m}{2}x^2\right]_0^a\\ &=\left\{-(a+1)e^{1-a}-\frac{m}{2}a^2\right\}-(-e) \end{aligned}

$$

ここで $e^{1-a}=m$ であるから、

$$ S=e-m\left(a+1+\frac{a^2}{2}\right)

$$

となる。

$a=1-\log m$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} a+1+\frac{a^2}{2} &= \frac{(\log m)^2}{2}-2\log m+\frac{5}{2} \end{aligned} $$

である。したがって、

$$ S=e-m\left\{\frac{(\log m)^2}{2}-2\log m+\frac{5}{2}\right\}

$$

である。

**(ii)**

$m>e$ のとき

このとき $\log m>1$ より $a<0$ である。区間 $a<x<0$ では

$$ e^{1-x}<e^{1-a}=m

$$

かつ $x<0$ であるから、

$$ x(e^{1-x}-m)>0

$$

である。したがって、この場合も曲線 $y=f(x)$ が直線 $y=mx$ より上にあり、面積 $S$ は

$$ S=\int_a^0 {xe^{1-x}-mx},dx

$$

である。

よって、

$$ \begin{aligned} S &=\left[-(x+1)e^{1-x}-\frac{m}{2}x^2\right]_a^0\\ &=-e-\left\{-(a+1)e^{1-a}-\frac{m}{2}a^2\right\}\\ &=m\left(a+1+\frac{a^2}{2}\right)-e \end{aligned}

$$

である。

$a=1-\log m$ を代入して、

$$ S=m\left\{\frac{(\log m)^2}{2}-2\log m+\frac{5}{2}\right\}-e

$$

となる。

以上より、面積は

$$ S= \begin{cases} \displaystyle e-m\left\{\frac{(\log m)^2}{2}-2\log m+\frac{5}{2}\right\} & (0<m<e),\\[8pt] \displaystyle m\left\{\frac{(\log m)^2}{2}-2\log m+\frac{5}{2}\right\}-e & (m>e) \end{cases}

$$

である。

解説

この問題では、原点が常に共有点になることに注意する必要がある。共有点の方程式

$$ mx=xe^{1-x}

$$

では、すぐに $x$ で割ると $x=0$ の解を失う。したがって、まず $x=0$ を確認し、その後で $x\ne 0$ として割るのが正しい処理である。

また、$m>0$ だけでは不十分である。$m=e$ のとき、原点以外の共有点の候補

$$ x=1-\log m

$$

が $0$ になってしまうため、原点以外の共有点は存在しない。この条件漏れが最も起こりやすい。

面積計算では、原点以外の共有点の $x$ 座標 $a=1-\log m$ の符号によって積分区間が変わる。$0<m<e$ なら $a>0$、$m>e$ なら $a<0$ であり、それぞれの場合分けして絶対値を外すのが安全である。

答え

**(1)**

極大値は

$$ 1

$$

であり、そのとき

$$ x=1

$$

である。極小値は存在しない。

**(2)**

グラフは原点を通り、$x<1$ で増加、$x>1$ で減少し、点 $(1,1)$ で極大値をとる。また、

$$ \lim_{x\to\infty}f(x)=0

$$

であるから、$x\to\infty$ で $x$ 軸に近づく。

**(3)**

原点以外に共有点をもつ条件は

$$ m>0,\quad m\ne e

$$

である。

**(4)**

直線 $y=mx$ と曲線 $y=f(x)$ で囲まれた部分の面積は

$$ S= \begin{cases} \displaystyle e-m\left\{\frac{(\log m)^2}{2}-2\log m+\frac{5}{2}\right\} & (0<m<e),\\[8pt] \displaystyle m\left\{\frac{(\log m)^2}{2}-2\log m+\frac{5}{2}\right\}-e & (m>e) \end{cases}

$$

である。