解説

方針・初手

「どの箱にも $1$ 個以下しか入らない」とは、$n$ 個のボールがすべて異なる箱に入ることと同じである。

したがって、1 個ずつ順にボールを入れていったときの条件付き確率を掛け合わせれば $p_n$ が求まる。さらに $\log p_n$ を和に直し、リーマン和として極限を計算する。

解法1

1 個目のボールは必ず条件を満たすので確率は $1$ である。

2 個目のボールがそれまでに使われた箱を避ける確率は $\dfrac{2n-1}{2n}$、3 個目では $\dfrac{2n-2}{2n}$、一般に $k$ 個目では $\dfrac{2n-(k-1)}{2n}$ である。

よって

$$ p_n =1\cdot \frac{2n-1}{2n}\cdot \frac{2n-2}{2n}\cdots \frac{2n-(n-1)}{2n} =\prod_{k=0}^{n-1}\frac{2n-k}{2n}.

$$

これを

$$ p_n=\prod_{k=1}^{n}\frac{n+k}{2n}

$$

と書き直すと、

$$ \log p_n=\sum_{k=1}^{n}\log \frac{n+k}{2n} =\sum_{k=1}^{n}\log \frac{1+\frac{k}{n}}{2}.

$$

したがって

$$ \frac{\log p_n}{n} =\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\log \frac{1+\frac{k}{n}}{2}.

$$

右辺は、区間 $[0,1]$ における関数 $f(x)=\log \dfrac{1+x}{2}$ のリーマン和であるから、

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{\log p_n}{n} =\int_0^1 \log \frac{1+x}{2},dx.

$$

これを計算すると、

$$ \int_0^1 \log \frac{1+x}{2},dx =\int_0^1 \log(1+x),dx-\int_0^1 \log 2,dx.

$$

まず

$$ \int_0^1 \log(1+x),dx =\left[(1+x)\log(1+x)-(1+x)\right]_0^1 =2\log 2-1.

$$

また

$$ \int_0^1 \log 2,dx=\log 2.

$$

ゆえに

$$ \int_0^1 \log \frac{1+x}{2},dx =(2\log 2-1)-\log 2 =\log 2-1.

$$

したがって

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{\log p_n}{n}=\log 2-1.

$$

解法2

解法1で得た

$$ p_n=\frac{(2n)!}{n!(2n)^n}

$$

を用いてスターリングの公式

$$ \log m!=m\log m-m+o(m) \qquad (m\to\infty)

$$

を使う。

すると

$$ \log p_n =\log(2n)!-\log n!-n\log(2n)

$$

より、

$$ \begin{aligned} \log p_n &={2n\log(2n)-2n+o(n)}-{n\log n-n+o(n)}-n\log(2n) \\ &=n\log(2n)-n\log n-n+o(n) \\ &=n\log 2-n+o(n). \end{aligned}

$$

したがって

$$ \frac{\log p_n}{n}=\log 2-1+o(1),

$$

よって

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{\log p_n}{n}=\log 2-1.

$$

解説

この問題の本質は、確率 $p_n$ 自体を直接扱うよりも、まず積の形にしてから対数を取ることである。

解法1は、$\dfrac{\log p_n}{n}$ を自然にリーマン和へ落とし込めるため、この極限問題として最も素直である。解法2は $p_n$ を階乗で表したあと、スターリングの公式で一気に処理する方法である。

「どの箱にも $1$ 個以下」という条件を「$n$ 個のボールがすべて異なる箱に入る」と正しく言い換えられるかどうかが出発点になる。

答え

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{\log p_n}{n}=\log 2-1

$$