解説

方針・初手

（1） は合成関数の微分である。 (x+\sqrt{a+x^2}) を (u) とおくと、(u') の中に再び (u) が現れる形になり、きれいに約される。

（2） は (\sqrt{3+t^2}) を含む積分なので、(t=\sqrt{3}\tan\theta) とおくのが基本である。 すると (3+t^2=3\sec^2\theta) となり、被積分関数が三角関数で簡単になる。

（3） は左辺の積分を

$$ \frac{1}{3+t^2}\cdot \frac{1}{\sqrt{3+t^2}}

$$

と見て、右辺の積分との比を考えるのが自然である。 その比が単調に減少することを示せば、条件を満たす (k) の最大値が求まる。

解法1

**(1)**

$$ f(x)=\log\left(x+\sqrt{a+x^2}\right)

$$

とする。ここで

$$ u=x+\sqrt{a+x^2}

$$

とおけば、

$$ f'(x)=\frac{u'}{u}

$$

である。

まず、

$$ u'=1+\frac{x}{\sqrt{a+x^2}} =\frac{\sqrt{a+x^2}+x}{\sqrt{a+x^2}} =\frac{x+\sqrt{a+x^2}}{\sqrt{a+x^2}} =\frac{u}{\sqrt{a+x^2}}

$$

となる。したがって、

$$ f'(x)=\frac{1}{\sqrt{a+x^2}}

$$

である。

**(2)**

$$ I=\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{(3+t^2)^3}} =\int_0^1 \frac{dt}{(3+t^2)^{3/2}}

$$

とする。

ここで

$$ t=\sqrt{3}\tan\theta

$$

とおくと、

$$ dt=\sqrt{3}\sec^2\theta,d\theta,\qquad 3+t^2=3+3\tan^2\theta=3\sec^2\theta

$$

であるから、

$$ (3+t^2)^{3/2}=(3\sec^2\theta)^{3/2}=3\sqrt{3}\sec^3\theta

$$

となる。よって、

$$ \frac{dt}{(3+t^2)^{3/2}} =\frac{\sqrt{3}\sec^2\theta,d\theta}{3\sqrt{3}\sec^3\theta} =\frac{1}{3}\cos\theta,d\theta

$$

である。

また、積分区間は

$$ t=0 \Rightarrow \theta=0,\qquad t=1 \Rightarrow \tan\theta=\frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{6}

$$

となるので、

$$ I=\frac{1}{3}\int_0^{\pi/6}\cos\theta,d\theta =\frac{1}{3}\left[\sin\theta\right]_0^{\pi/6} =\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2} =\frac{1}{6}

$$

である。

**(3)**

$$ A(x)=\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(3+t^2)^3}},\qquad B(x)=\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{3+t^2}}

$$

とおく。

求める不等式は

$$ A(x)\ge kB(x)\qquad (0\le x\le 1)

$$

である。 (x>0) では (B(x)>0) なので、

$$ k\le \frac{A(x)}{B(x)}

$$

がすべての (x\in(0,1]) で成り立てばよい。そこで

$$ R(x)=\frac{A(x)}{B(x)}\qquad (0<x\le 1)

$$

とおく。

(A'(x),B'(x)) を求めると、

$$ A'(x)=\frac{1}{(3+x^2)^{3/2}},\qquad B'(x)=\frac{1}{\sqrt{3+x^2}}

$$

であるから、

$$ R'(x)=\frac{A'(x)B(x)-A(x)B'(x)}{B(x)^2} =\frac{1}{\sqrt{3+x^2},B(x)^2} \left( \frac{B(x)}{3+x^2}-A(x) \right)

$$

となる。

ここで (0\le t\le x) なら (3+t^2\le 3+x^2) であるから、

$$ \frac{1}{3+t^2}\ge \frac{1}{3+x^2}

$$

が成り立つ。したがって、

$$ \begin{aligned} A(x) =\int_0^x \frac{1}{3+t^2}\cdot \frac{dt}{\sqrt{3+t^2}} \ge \frac{1}{3+x^2}\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{3+t^2}} &= \frac{B(x)}{3+x^2} \end{aligned} $$

である。よって、

$$ R'(x)\le 0

$$

となり、(R(x)) は (0<x\le 1) で単調減少である。

したがって、(\dfrac{A(x)}{B(x)}) の最小値は (x=1) のときにとる。よって、

$$ k\le \frac{A(1)}{B(1)}

$$

であればよい。

まず （2） より、

$$ A(1)=\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{(3+t^2)^3}}=\frac{1}{6}

$$

である。

次に （1） で (a=3) とすれば、

$$ \frac{d}{dx}\log\left(x+\sqrt{3+x^2}\right)=\frac{1}{\sqrt{3+x^2}}

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} B(1)=\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{3+t^2}} &= \left[ \log\left(t+\sqrt{3+t^2}\right) \right]_0^1 \\ &= \log(1+\sqrt{4})-\log(\sqrt{3}) \\ &= \log 3-\log \sqrt{3} \\ &= \frac{1}{2}\log 3 \end{aligned} $$

となる。

ゆえに、

$$ \begin{aligned} \frac{A(1)}{B(1)} &= \frac{1/6}{(1/2)\log 3} \\ &= \frac{1}{3\log 3} \end{aligned} $$

である。したがって、求める (k) の範囲は

$$

k\le \frac{1}{3\log 3}

$$

である。

さらに (\log 3=1.10) を用いれば、

$$

\frac{1}{3\log 3}\approx \frac{1}{3.30}=\frac{10}{33}\approx 0.303

$$

である。

解説

（1） の要点は、(x+\sqrt{a+x^2}) をそのまま (u) とおくことで、(u') が (u/\sqrt{a+x^2}) という形に整理できる点にある。これにより微分結果が非常に簡潔になる。

（2） は (\sqrt{a+t^2}) 型の典型であり、(t=\sqrt{a}\tan\theta) の置換が基本である。分母の冪が (3/2) であっても、(\sec\theta) がきれいに約される。

（3） では、左辺の被積分関数が

$$

\frac{1}{3+t^2}\times \frac{1}{\sqrt{3+t^2}}

$$

と分解できることが重要である。

(\dfrac{1}{3+t^2}) は減少関数なので、積分の比 (\dfrac{A(x)}{B(x)}) も減少し、最小値は端点 (x=1) で決まる。ここで （1） と （2） の結果がそのまま使える構成になっている。

答え

**(1)**

$$

f'(x)=\frac{1}{\sqrt{a+x^2}}

$$

**(2)**

$$

I=\frac{1}{6}

$$

**(3)**

$$

k\le \frac{1}{3\log 3}

$$

したがって、

$$

k\in \left(-\infty,\frac{1}{3\log 3}\right]

$$

である。

また、(\log 3=1.10) とすると、

$$

k\le \frac{10}{33}\approx 0.303

$$