解説

方針・初手

まず (f'(x)), (f''(x)) を具体的に求める。すると (f''(x)) は単純な形になり、(\log f''(x)) を直接整理できる。

（2） では （1） の結果から (e^{-f(x)}=f''(x)) と書けるので、積分は部分積分で処理するのが自然である。

解法1

**(1)**

与えられた関数は

$$ f(x)=2\log(1+e^x)-x-\log 2

$$

である。

まず微分すると

$$ f'(x)=\frac{2e^x}{1+e^x}-1 =\frac{2e^x-(1+e^x)}{1+e^x} =\frac{e^x-1}{e^x+1}

$$

したがって

$$ f''(x)=\frac{(e^x)(e^x+1)-(e^x-1)e^x}{(e^x+1)^2} =\frac{2e^x}{(e^x+1)^2}

$$

である。

ここで (e^x>0) であるから (f''(x)>0) であり、(\log f''(x)) は定義される。

よって

$$ \log f''(x) =\log \left( \frac{2e^x}{(1+e^x)^2} \right) =\log 2+x-2\log(1+e^x)

$$

となる。一方、

$$ -f(x) =-\left(2\log(1+e^x)-x-\log 2\right) =\log 2+x-2\log(1+e^x)

$$

であるから、

$$ \log f''(x)=-f(x)

$$

が成り立つ。

**(2)**

求める積分を

$$ I=\int_0^{\log 2}(x-\log 2)e^{-f(x)},dx

$$

とおく。

（1） より

$$ \log f''(x)=-f(x)

$$

であるから、両辺の指数をとって

$$ f''(x)=e^{-f(x)}

$$

を得る。したがって

$$ I=\int_0^{\log 2}(x-\log 2)f''(x),dx

$$

となる。

ここで部分積分を用いる。(u=x-\log 2), (dv=f''(x),dx) とおけば、

$$ du=dx,\qquad v=f'(x)

$$

であるから

$$ I=\left[(x-\log 2)f'(x)\right]_0^{\log 2}-\int_0^{\log 2}f'(x),dx

$$

となる。

端点を調べると、

$$ f'(x)=\frac{e^x-1}{e^x+1}

$$

より

$$ f'(0)=0

$$

であり、また (x=\log 2) では (x-\log 2=0) である。したがって境界項は 0 となり、

$$ I=-\int_0^{\log 2}f'(x),dx =-(f(\log 2)-f(0))

$$

を得る。

ここで

$$ f(\log 2)=2\log(1+2)-\log 2-\log 2 =2\log 3-2\log 2 =2\log \frac{3}{2}

$$

また

$$ f(0)=2\log(1+1)-\log 2 =2\log 2-\log 2 =\log 2

$$

であるから、

$$ I=-\left(2\log \frac{3}{2}-\log 2\right) =-(2\log 3-3\log 2) =\log \frac{8}{9}

$$

となる。

解説

（1） は (f(x)) をそのまま 2 回微分し、(\log f''(x)) を整理するだけである。ポイントは、(\log f''(x)) を書くために (f''(x)>0) を確認することである。

（2） の核心は （1） を用いて (e^{-f(x)}) を (f''(x)) に置き換えることである。すると

$$ \int (x-\log 2)f''(x),dx

$$

という形になり、部分積分で処理できる。直接 (e^{-f(x)}) を展開して計算しようとすると見通しが悪くなる。

答え

**(1)**

$$ f''(x)=\frac{2e^x}{(1+e^x)^2}

$$

であり、

$$ \log f''(x)=\log \frac{2e^x}{(1+e^x)^2} =\log 2+x-2\log(1+e^x) =-f(x)

$$

である。

**(2)**

$$ \int_0^{\log 2}(x-\log 2)e^{-f(x)},dx=\log \frac{8}{9}

$$