解説

方針・初手

被積分関数は

$$ (x+1)\sqrt{1-2x^2}=x\sqrt{1-2x^2}+\sqrt{1-2x^2}

$$

と分けると扱いやすい。前者は $u=1-2x^2$ の置換で処理でき、後者は三角置換 $x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta$ によって計算できる。

解法1

求める積分を

$$ I=\int_0^{1/8}(x+1)\sqrt{1-2x^2},dx

$$

とおく。これを

$$ I=I_1+I_2

$$

ただし

$$ I_1=\int_0^{1/8}x\sqrt{1-2x^2},dx,\qquad I_2=\int_0^{1/8}\sqrt{1-2x^2},dx

$$

と分ける。

まず $I_1$ を求める。$u=1-2x^2$ とおくと

$$ du=-4x,dx

$$

であるから、

$$ I_1=-\frac14\int_1^{31/32}\sqrt{u},du =\frac14\int_{31/32}^1\sqrt{u},du

$$

となる。よって

$$ I_1=\frac14\cdot\frac23\left[u^{3/2}\right]_{31/32}^1 =\frac16\left(1-\left(\frac{31}{32}\right)^{3/2}\right).

$$

ここで

$$ \left(\frac{31}{32}\right)^{3/2} =\frac{31\sqrt{62}}{256}

$$

であるから、

$$ I_1=\frac16-\frac{31\sqrt{62}}{1536}.

$$

次に $I_2$ を求める。$x=\dfrac{1}{\sqrt2}\sin\theta$ とおくと

$$ dx=\frac{1}{\sqrt2}\cos\theta,d\theta,\qquad \sqrt{1-2x^2}=\cos\theta

$$

となる。積分区間は、$x=0$ のとき $\theta=0$、$x=\dfrac18$ のとき

$$ \sin\theta=\frac{\sqrt2}{8}

$$

であるから、

$$ \alpha=\sin^{-1}\frac{\sqrt2}{8}

$$

とおけば

$$ I_2=\frac1{\sqrt2}\int_0^\alpha \cos^2\theta,d\theta.

$$

ここで

$$ \int \cos^2\theta,d\theta =\frac12\left(\theta+\sin\theta\cos\theta\right)

$$

を用いると、

$$ I_2=\frac1{2\sqrt2}\left[\theta+\sin\theta\cos\theta\right]_0^\alpha.

$$

さらに

$$ \sin\alpha=\frac{\sqrt2}{8},\qquad \cos\alpha=\sqrt{1-\frac{2}{64}}=\sqrt{\frac{31}{32}}=\frac{\sqrt{62}}{8}

$$

より

$$ \sin\alpha\cos\alpha=\frac{\sqrt{31}}{32}

$$

である。したがって

$$ I_2=\frac1{2\sqrt2}\left(\alpha+\frac{\sqrt{31}}{32}\right) =\frac{\sqrt2}{4}\alpha+\frac{\sqrt{62}}{128}.

$$

以上より

$$ I=\left(\frac16-\frac{31\sqrt{62}}{1536}\right) +\left(\frac{\sqrt2}{4}\alpha+\frac{\sqrt{62}}{128}\right).

$$

整理して

$$ I=\frac16-\frac{19\sqrt{62}}{1536}+\frac{\sqrt2}{4}\alpha

$$

となる。$\alpha=\sin^{-1}\dfrac{\sqrt2}{8}$ を戻せば

$$ I=\frac16-\frac{19\sqrt{62}}{1536} +\frac{\sqrt2}{4}\sin^{-1}\frac{\sqrt2}{8}.

$$

解法2

最初から三角置換

$$ x=\frac1{\sqrt2}\sin\theta

$$

を用いる。すると

$$ dx=\frac1{\sqrt2}\cos\theta,d\theta,\qquad \sqrt{1-2x^2}=\cos\theta

$$

であり、積分区間は

$$ 0\le \theta \le \alpha,\qquad \alpha=\sin^{-1}\frac{\sqrt2}{8}

$$

となる。

したがって

$$ I=\int_0^\alpha \left(\frac1{\sqrt2}\sin\theta+1\right)\cos\theta\cdot\frac1{\sqrt2}\cos\theta,d\theta

$$

すなわち

$$ I=\frac12\int_0^\alpha \sin\theta\cos^2\theta,d\theta +\frac1{\sqrt2}\int_0^\alpha \cos^2\theta,d\theta.

$$

第1項は $u=\cos\theta$ とおけば

$$ \frac12\int_0^\alpha \sin\theta\cos^2\theta,d\theta =\frac16\left(1-\cos^3\alpha\right).

$$

また $\cos\alpha=\dfrac{\sqrt{62}}{8}$ だから

$$ \frac16\left(1-\cos^3\alpha\right) =\frac16-\frac{31\sqrt{62}}{1536}.

$$

第2項は

$$ \frac1{\sqrt2}\int_0^\alpha \cos^2\theta,d\theta =\frac1{2\sqrt2}\left(\alpha+\sin\alpha\cos\alpha\right)

$$

であり、

$$ \sin\alpha=\frac{\sqrt2}{8},\qquad \cos\alpha=\frac{\sqrt{62}}{8}

$$

より

$$ \frac1{2\sqrt2}\left(\alpha+\sin\alpha\cos\alpha\right) =\frac{\sqrt2}{4}\alpha+\frac{\sqrt{62}}{128}.

$$

よって

$$ I=\frac16-\frac{31\sqrt{62}}{1536} +\frac{\sqrt{62}}{128} +\frac{\sqrt2}{4}\alpha =\frac16-\frac{19\sqrt{62}}{1536} +\frac{\sqrt2}{4}\sin^{-1}\frac{\sqrt2}{8}.

$$

解説

$\sqrt{1-2x^2}$ を含む積分では、$x=\dfrac1{\sqrt2}\sin\theta$ の三角置換が典型である。ただし本問は $(x+1)$ が掛かっているので、まず $x\sqrt{1-2x^2}$ と $\sqrt{1-2x^2}$ に分けると計算の見通しが立つ。

前半は単純な置換、後半は三角置換という役割分担にすると計算が安定する。最初から三角置換しても解けるが、分割して考える方が途中の意味が分かりやすい。

答え

$$ \begin{aligned} \int_0^{1/8}(x+1)\sqrt{1-2x^2},dx &= \frac16-\frac{19\sqrt{62}}{1536} +\frac{\sqrt2}{4}\sin^{-1}\frac{\sqrt2}{8}. \end{aligned} $$