解説

方針・初手

関数

$$ f(x)=\frac{1}{x\log x}

$$

に着目する。この関数は $x>1$ で正かつ単調減少であるため、積分と和を比較できる。まず積分を直接計算し、次に単調減少性から各区間 $[k,k+1]$ における面積評価を行い、最後に $S_n$ をはさみうちする。

解法1

まず

$$ f(x)=\frac{1}{x\log x}

$$

とおく。$x>1$ において

$$ \begin{aligned} f'(x) &= -\frac{\log x+1}{x^2(\log x)^2} \\ &<0 \end{aligned} $$

であるから、$f(x)$ は $x>1$ で単調減少である。

**(1)**

置換 $u=\log x$ とすると、$du=\dfrac{dx}{x}$ である。したがって

$$ \begin{aligned} \int_n^{n^2}\frac{dx}{x\log x} &= \int_{\log n}^{\log n^2}\frac{du}{u} \end{aligned} $$

となる。ここで $n\geqq 2$ より $\log n>0$ であるから、

$$ \begin{aligned} \int_{\log n}^{\log n^2}\frac{du}{u} &= \log(\log n^2)-\log(\log n) \end{aligned} $$

である。

また $\log n^2=2\log n$ だから、

$$ \begin{aligned} \log(\log n^2)-\log(\log n) &= \log(2\log n)-\log(\log n) \\ \log 2 \end{aligned} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} \int_n^{n^2}\frac{dx}{x\log x} &= \log 2 \end{aligned} $$

である。

**(2)**

$k\geqq 2$ とする。$f(x)$ は $x>1$ で単調減少であるから、$k<x<k+1$ に対して

$$ f(k+1)<f(x)<f(k)

$$

が成り立つ。

すなわち

$$ \frac{1}{(k+1)\log(k+1)} < \frac{1}{x\log x} < \frac{1}{k\log k}

$$

である。これを $x=k$ から $x=k+1$ まで積分すると、区間の長さは $1$ なので

$$ \frac{1}{(k+1)\log(k+1)} < \int_k^{k+1}\frac{dx}{x\log x} < \frac{1}{k\log k}

$$

を得る。

**(3)**

(2)より、$k=n,n+1,\dots,n^2-1$ について

$$ \int_k^{k+1}\frac{dx}{x\log x} < \frac{1}{k\log k}

$$

が成り立つ。これらを足し合わせると、

$$ \int_n^{n^2}\frac{dx}{x\log x} < \sum_{k=n}^{n^2-1}\frac{1}{k\log k}

$$

であるから、

$$ \log 2<S_n

$$

である。

次に、$k=n+1,n+2,\dots,n^2-1$ に対して、(2)を $k-1$ に適用すると

$$ \frac{1}{k\log k} < \int_{k-1}^{k}\frac{dx}{x\log x}

$$

である。したがって

$$ \begin{aligned} S_n &= \frac{1}{n\log n} + \sum_{k=n+1}^{n^2-1}\frac{1}{k\log k} \\ &< \frac{1}{n\log n} + \sum_{k=n+1}^{n^2-1}\int_{k-1}^{k}\frac{dx}{x\log x} \\ &= \frac{1}{n\log n} + \int_n^{n^2-1}\frac{dx}{x\log x} \\ &< \frac{1}{n\log n} + \int_n^{n^2}\frac{dx}{x\log x} \end{aligned}

$$

である。よって

$$ S_n < \frac{1}{n\log n} + \log 2

$$

となる。

以上より

$$ \log 2<S_n<\log 2+\frac{1}{n\log n}

$$

である。ここで

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n\log n}=0

$$

であるから、はさみうちの原理により

$$ \lim_{n\to\infty}S_n=\log 2

$$

である。

解説

この問題の中心は、和

$$ \sum_{k=n}^{n^2-1}\frac{1}{k\log k}

$$

を積分

$$ \int_n^{n^2}\frac{dx}{x\log x}

$$

と比較することである。

関数 $\dfrac{1}{x\log x}$ は $x>1$ で単調減少するため、長方形の面積と曲線下の面積を比較できる。特に、(2)の不等式は単調減少関数に対する基本的な積分評価であり、(3)ではこれを用いて $S_n$ を $\log 2$ の近くにはさむ。

上から評価するときに、単に $S_n$ と $\int_n^{n^2}$ を比較するだけでは足りないため、和の添字を $1$ つずらして

$$ \frac{1}{k\log k}<\int_{k-1}^{k}\frac{dx}{x\log x}

$$

を使う点が重要である。

答え

**(1)**

$$ \begin{aligned} \int_n^{n^2}\frac{dx}{x\log x} &= \log 2 \end{aligned} $$

**(2)**

$$ \frac{1}{(k+1)\log(k+1)} < \int_k^{k+1}\frac{dx}{x\log x} < \frac{1}{k\log k}

$$

**(3)**

$$ \lim_{n\to\infty}S_n=\log 2

$$