解説

方針・初手

最大値は微分して増減を調べる。$f(x)$ は偶関数なので左右対称であるが、極値の位置を正確に出すために $f'(x)$ を計算する。

面積は、最大値を $M$ としたとき、直線 $y=M$ が曲線 $y=f(x)$ の上側にあることを利用して、

$$ \int_{-2}^{2}{M-f(x)},dx

$$

で求める。

解法1

まず

$$ f(x)=\log(x^2+4)-\frac{x^2}{8}

$$

を微分すると、

$$ \begin{aligned} f'(x) &=\frac{2x}{x^2+4}-\frac{x}{4} \\ &=\frac{8x-x(x^2+4)}{4(x^2+4)} \\ &=\frac{x(4-x^2)}{4(x^2+4)}. \end{aligned}

$$

分母 $4(x^2+4)$ は常に正であるから、$f'(x)$ の符号は $x(4-x^2)$ の符号で決まる。

したがって、増減は

$$ x<-2 \text{ で増加},\quad -2<x<0 \text{ で減少},\quad 0<x<2 \text{ で増加},\quad 2<x \text{ で減少}

$$

となる。

また、$|x|\to\infty$ のとき

$$ \log(x^2+4)-\frac{x^2}{8}\to -\infty

$$

であるから、最大値は $x=\pm 2$ でとる。

よって

$$ M=f(2)=f(-2)=\log 8-\frac{1}{2}

$$

である。

次に、直線 $y=M$ と曲線 $y=f(x)$ に囲まれた図形の面積を求める。$M$ は最大値なので、常に

$$ M-f(x)\geqq 0

$$

であり、等号は閉じた部分では $x=-2,2$ で成り立つ。したがって、求める面積 $S$ は

$$ S=\int_{-2}^{2}{M-f(x)},dx

$$

である。

これに $M=\log 8-\dfrac12$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} S &=\int_{-2}^{2}\left(\log 8-\frac12-\log(x^2+4)+\frac{x^2}{8}\right),dx \\ &=\int_{-2}^{2}\left(\log 8-\frac12\right),dx-\int_{-2}^{2}\log(x^2+4),dx+\int_{-2}^{2}\frac{x^2}{8},dx. \end{aligned}

$$

まず、

$$ \int_{-2}^{2}\left(\log 8-\frac12\right),dx=4\log 8-2

$$

であり、

$$ \int_{-2}^{2}\frac{x^2}{8},dx =\frac18\cdot \frac{16}{3} =\frac23

$$

である。

次に

$$ \int \log(x^2+4),dx

$$

を部分積分で求める。$u=\log(x^2+4),\ dv=dx$ とすると、

$$ \begin{aligned} \int \log(x^2+4),dx &=x\log(x^2+4)-\int x\cdot \frac{2x}{x^2+4},dx \\ &=x\log(x^2+4)-\int \frac{2x^2}{x^2+4},dx. \end{aligned}

$$

ここで

$$ \frac{2x^2}{x^2+4} =2-\frac{8}{x^2+4}

$$

だから、

$$ \begin{aligned} \int \log(x^2+4),dx &=x\log(x^2+4)-2x+\int \frac{8}{x^2+4},dx \\ &=x\log(x^2+4)-2x+4\arctan\frac{x}{2}. \end{aligned}

$$

よって、

$$ \begin{aligned} \int_{-2}^{2}\log(x^2+4),dx &=\left[x\log(x^2+4)-2x+4\arctan\frac{x}{2}\right]_{-2}^{2} \\ &=\left(2\log 8-4+\pi\right)-\left(-2\log 8+4-\pi\right) \\ &=4\log 8-8+2\pi. \end{aligned}

$$

したがって、

$$ \begin{aligned} S &=(4\log 8-2)-\left(4\log 8-8+2\pi\right)+\frac23 \\ &=\frac{20}{3}-2\pi. \end{aligned}

$$

解説

この問題では、最大値を求めるだけでなく、その最大値を表す水平線と曲線で囲まれる部分を正しく把握することが重要である。

$f(x)$ は $x=\pm2$ で最大値をとるため、直線 $y=M$ は曲線に $x=-2,2$ で接する。この2点の間で $y=M$ が上側、$y=f(x)$ が下側になるので、面積は

$$ \int_{-2}^{2}{M-f(x)},dx

$$

で表される。

計算上の山場は $\int \log(x^2+4),dx$ であり、これは部分積分によって処理するのが標準的である。

答え

**(1)**

$$ \log 8-\frac12

$$

**(2)**

$$ \frac{20}{3}-2\pi

$$