解説

方針・初手

$f(x)$ の正負を調べるには、微分して増減を調べる。$x \geqq 1$ では $\log x$ が定義され、$f'(x)$ が因数分解できるので、最小値を押さえればよい。

面積は、(1) により $[2,3]$ で $f(x)>0$ であることを用いて、絶対値を付けずに定積分で求める。

解法1

まず、

$$ f(x)=2x^2-15x+16+11\log x

$$

を微分すると、

$$ f'(x)=4x-15+\frac{11}{x} =\frac{4x^2-15x+11}{x} =\frac{(4x-11)(x-1)}{x}

$$

である。

$x \geqq 1$ では $x>0$ であるから、$f'(x)$ の符号は $(4x-11)(x-1)$ の符号で決まる。したがって、

$$ \begin{cases} 1<x<\frac{11}{4} & \text{で } f'(x)<0,\\ x=\frac{11}{4} & \text{で } f'(x)=0,\\ x>\frac{11}{4} & \text{で } f'(x)>0 \end{cases}

$$

である。

よって、$x \geqq 1$ において $f(x)$ は $x=\frac{11}{4}$ で最小値をとる。

このとき、

$$ \begin{aligned} f\left(\frac{11}{4}\right) &=2\left(\frac{11}{4}\right)^2-15\cdot \frac{11}{4}+16+11\log \frac{11}{4}\\ &=\frac{121}{8}-\frac{165}{4}+16+11\log \frac{11}{4}\\ &=-\frac{81}{8}+11\log \frac{11}{4} \end{aligned}

$$

である。

ここで、$e=2.718\cdots$ であり、

$$ \frac{11}{4}=2.75>e

$$

だから、

$$ \log \frac{11}{4}>1

$$

である。したがって、

$$ f\left(\frac{11}{4}\right)>-\frac{81}{8}+11=\frac{7}{8}>0

$$

となる。

よって、$x \geqq 1$ において常に

$$ f(x)>0

$$

である。

次に、曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸、および直線 $x=2,\ x=3$ で囲まれる部分の面積を $S$ とする。

(1) より $2 \leqq x \leqq 3$ で $f(x)>0$ であるから、

$$ S=\int_2^3 f(x),dx

$$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} S &=\int_2^3 \left(2x^2-15x+16+11\log x\right),dx\\ &=\left[\frac{2}{3}x^3-\frac{15}{2}x^2+16x+11(x\log x-x)\right]_2^3\\ &=\left[\frac{2}{3}x^3-\frac{15}{2}x^2+5x+11x\log x\right]_2^3 \end{aligned}

$$

である。

$x=3$ を代入すると、

$$ \frac{2}{3}\cdot 27-\frac{15}{2}\cdot 9+15+33\log 3 =-\frac{69}{2}+33\log 3

$$

である。

$x=2$ を代入すると、

$$ \frac{2}{3}\cdot 8-\frac{15}{2}\cdot 4+10+22\log 2 =-\frac{44}{3}+22\log 2

$$

である。

よって、

$$ \begin{aligned} S &=\left(-\frac{69}{2}+33\log 3\right)-\left(-\frac{44}{3}+22\log 2\right)\\ &=-\frac{119}{6}+33\log 3-22\log 2\\ &=-\frac{119}{6}+11(3\log 3-2\log 2)\\ &=11\log \frac{27}{4}-\frac{119}{6} \end{aligned}

$$

である。

最後に、(1) より $[2,3]$ で $f(x)>0$ であるから、面積 $S$ は正である。したがって、

$$ 11\log \frac{27}{4}-\frac{119}{6}>0

$$

より、

$$ \log \frac{27}{4}>\frac{119}{66}

$$

である。

また、

$$ \frac{119}{66}>\frac{9}{5}

$$

である。実際、

$$ 119\cdot 5=595,\qquad 66\cdot 9=594

$$

であるから、

$$ \frac{119}{66}>\frac{9}{5}=1.8

$$

が成り立つ。

したがって、

$$ \log \frac{27}{4}>1.8

$$

である。

解説

この問題の中心は、$\log x$ を含む関数を微分して増減を調べることである。$f'(x)$ が

$$ f'(x)=\frac{(4x-11)(x-1)}{x}

$$

と因数分解できるため、$x \geqq 1$ での最小値が明確に分かる。

また、(2) の面積計算では、(1) によって $f(x)>0$ が保証されているため、絶対値を考えずに

$$ \int_2^3 f(x),dx

$$

を計算すればよい。

(3) は単独で $\log \frac{27}{4}$ を評価する問題ではなく、(2) で得た面積の式と、面積が正であることを利用する問題である。計算結果

$$ S=11\log \frac{27}{4}-\frac{119}{6}

$$

から $S>0$ を用いることで、自然に

$$ \log \frac{27}{4}>\frac{119}{66}>1.8

$$

が導かれる。

答え

**(1)**

$x \geqq 1$ のとき、$f(x)>0$ である。

**(2)**

求める面積は

$$ 11\log \frac{27}{4}-\frac{119}{6}

$$

である。

**(3)**

$$ \log \frac{27}{4}>1.8

$$

である。