解説

方針・初手

右辺を通分して係数を比較してもよいが、今回は $(x+1)^2(x-2)$ という因数分解済みの形になっているので、まず $x=2,-1$ を代入して $C,\ A$ を先に決めるのが最も速い。

その後、残った $B$ を求めればよい。

解法1

与えられた恒等式

$$ \frac{x^2+5}{(x+1)^2(x-2)}=\frac{A}{(x+1)^2}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x-2}

$$

の両辺に $(x+1)^2(x-2)$ を掛けると、

$$ x^2+5=A(x-2)+B(x+1)(x-2)+C(x+1)^2

$$

を得る。

まず $x=2$ を代入すると、

$$ 2^2+5=C(2+1)^2

$$

より

$$ 9=9C

$$

したがって

$$ C=1

$$

である。

次に $x=-1$ を代入すると、

$$ (-1)^2+5=A(-1-2)

$$

より

$$ 6=-3A

$$

したがって

$$ A=-2

$$

である。

最後に $x=0$ を代入すると、

$$ 5=A(-2)+B(1)(-2)+C(1)^2

$$

すなわち

$$ 5=-2A-2B+C

$$

である。ここに $A=-2,\ C=1$ を代入すると、

$$ 5=4-2B+1=5-2B

$$

となるので、

$$ B=0

$$

である。

よって

$$ \begin{aligned} \frac{x^2+5}{(x+1)^2(x-2)} &= -\frac{2}{(x+1)^2}+\frac{1}{x-2} \end{aligned} $$

となる。

したがって、

$$ \begin{aligned} \int_0^1 \frac{x^2+5}{(x+1)^2(x-2)},dx &= \int_0^1 \left(-\frac{2}{(x+1)^2}+\frac{1}{x-2}\right),dx \end{aligned} $$

である。

それぞれ積分すると、

$$ \int -\frac{2}{(x+1)^2},dx=\frac{2}{x+1},\qquad \int \frac{1}{x-2},dx=\log|x-2|

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} \int_0^1 \frac{x^2+5}{(x+1)^2(x-2)},dx &= \left[\frac{2}{x+1}+\log|x-2|\right]_0^1 \end{aligned} $$

となる。

これを計算すると、

$$ \left(\frac{2}{2}+\log 1\right)-\left(\frac{2}{1}+\log 2\right) =1-2-\log 2 =-1-\log 2

$$

である。

解説

部分分数分解では、分母の一次因子や重解に対応する値を代入して係数を直接決めるのが基本である。

この問題では $x=2,-1$ を入れると、それぞれ $C,\ A$ がすぐに決まり、最後に任意の値を代入して $B$ を求めればよい。重解 $(x+1)^2$ がある場合でも、この方法は有効である。

答え

$$ A=-2,\quad B=0,\quad C=1

$$

したがって、

$$ [ア]=-2,\quad [イ]=0,\quad [ウ]=1,\quad [エ]=-1-\log 2

$$

である。