解説

方針・初手

$\cos x=\cos\theta$ は、単位円上で $x=\theta$ と $x=2\pi-\theta$ が基本になる。特に $\dfrac{\pi}{2}\leqq \theta<\pi$ では、$0\leqq x\leqq \dfrac{3}{2}\pi$ の範囲にこの2つが入る。

定積分では、$|\cos x-\cos\theta|$ の符号が変わる点が解 $x=\theta,\ 2\pi-\theta$ であることを用いて、区間を分けて絶対値を外す。

解法1

**(1)**

$$ \cos x=\cos \frac{3}{4}\pi

$$

より、

$$ x=2n\pi\pm \frac{3}{4}\pi \quad (n\in\mathbb{Z})

$$

である。

範囲は

$$ \pi\leqq x\leqq \frac{3}{2}\pi

$$

であるから、この中に入る解は

$$ x=\frac{5}{4}\pi

$$

である。

**(2)**

$\dfrac{\pi}{2}\leqq \theta<\pi$ とする。このとき

$$ \cos x=\cos\theta

$$

の解は一般に

$$ x=2n\pi\pm\theta \quad (n\in\mathbb{Z})

$$

である。

$0\leqq x\leqq \dfrac{3}{2}\pi$ に入るものを調べる。

まず、

$$ x=\theta

$$

は

$$ \frac{\pi}{2}\leqq \theta<\pi

$$

より範囲内にある。

また、

$$ x=2\pi-\theta

$$

について、

$$ \pi<2\pi-\theta\leqq \frac{3}{2}\pi

$$

であるから、これも範囲内にある。

したがって、2つの解は

$$ x=\theta,\quad x=2\pi-\theta

$$

である。

**(3)**

上の2つの解のうち大きい方を $\alpha$ とするので、

$$ \alpha=2\pi-\theta

$$

である。

$0\leqq x\leqq \alpha$ において、$\cos x=\cos\theta$ となる点は

$$ x=\theta,\quad x=\alpha

$$

である。

また、$\dfrac{\pi}{2}\leqq \theta<\pi$ であるから、$0\leqq x<\theta$ では

$$ \cos x>\cos\theta

$$

であり、$\theta<x<\alpha$ では

$$ \cos x<\cos\theta

$$

である。

よって絶対値を外すと、

$$ S=\int_0^\theta (\cos x-\cos\theta),dx+\int_\theta^\alpha(\cos\theta-\cos x),dx

$$

となる。

まず、

$$ \int_0^\theta (\cos x-\cos\theta),dx =\sin\theta-\theta\cos\theta

$$

である。

次に、

$$ \begin{aligned} \int_\theta^\alpha(\cos\theta-\cos x),dx &=(\alpha-\theta)\cos\theta-(\sin\alpha-\sin\theta) \end{aligned}

$$

である。ここで $\alpha=2\pi-\theta$ より、

$$ \alpha-\theta=2\pi-2\theta

$$

かつ

$$ \sin\alpha=\sin(2\pi-\theta)=-\sin\theta

$$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} S &=\sin\theta-\theta\cos\theta+(2\pi-2\theta)\cos\theta-(-\sin\theta+\sin\theta)\\ &=\sin\theta-\theta\cos\theta+(2\pi-2\theta)\cos\theta+2\sin\theta\\ &=3\sin\theta+(2\pi-3\theta)\cos\theta \end{aligned}

$$

となる。

よって、

$$ S=3\sin\theta+(2\pi-3\theta)\cos\theta

$$

である。

**(4)**

$$ S=3\sin\theta+(2\pi-3\theta)\cos\theta

$$

を $\theta$ で微分する。

$$ \begin{aligned} S' &=3\cos\theta-3\cos\theta-(2\pi-3\theta)\sin\theta\\ &=(3\theta-2\pi)\sin\theta \end{aligned}

$$

ここで、

$$ \frac{\pi}{2}\leqq \theta<\pi

$$

では $\sin\theta>0$ である。したがって、$S'$ の符号は $3\theta-2\pi$ の符号で決まる。

$$ 3\theta-2\pi=0

$$

より、

$$ \theta=\frac{2}{3}\pi

$$

である。

よって、

$$ \begin{cases} S'<0 & \left(\dfrac{\pi}{2}\leqq \theta<\dfrac{2}{3}\pi\right)\\ S'=0 & \left(\theta=\dfrac{2}{3}\pi\right)\\ S'>0 & \left(\dfrac{2}{3}\pi<\theta<\pi\right) \end{cases}

$$

となるから、$S$ は $\theta=\dfrac{2}{3}\pi$ で最小となる。

このとき、

$$ \sin\frac{2}{3}\pi=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad \cos\frac{2}{3}\pi=-\frac{1}{2}

$$

であり、

$$ 2\pi-3\cdot\frac{2}{3}\pi=0

$$

だから、

$$ S_{\min}=3\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+0\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) =\frac{3\sqrt{3}}{2}

$$

である。

解説

この問題の中心は、$\cos x=\cos\theta$ の解を単位円で整理することである。

$\dfrac{\pi}{2}\leqq \theta<\pi$ のとき、$\theta$ は第2象限の角であり、同じ余弦をもつもう1つの角は第3象限の $2\pi-\theta$ である。これにより、積分区間の右端 $\alpha$ が

$$ \alpha=2\pi-\theta

$$

と決まる。

絶対値付き積分では、$\cos x-\cos\theta$ の符号が変わる点を正確に押さえる必要がある。今回は $x=\theta$ で符号が変わり、$x=\alpha$ で再び $0$ になるため、

$$ [0,\theta],\quad [\theta,\alpha]

$$

に分けて処理するのが自然である。

最後の最小値問題では、積分結果を $\theta$ の関数として微分すればよい。微分後に

$$ S'=(3\theta-2\pi)\sin\theta

$$

と整理できるため、$\sin\theta>0$ を利用して単調性を判定する。

答え

**(1)**

$$ x=\frac{5}{4}\pi

$$

**(2)**

$$ x=\theta,\quad x=2\pi-\theta

$$

**(3)**

$$ S=3\sin\theta+(2\pi-3\theta)\cos\theta

$$

**(4)**

$$ S_{\min}=\frac{3\sqrt{3}}{2}

$$

そのとき、

$$ \theta=\frac{2}{3}\pi

$$