解説

方針・初手

漸化式は分母に $a_n$ を含む分数型であり、そのままでは扱いにくい。そこで逆数 $x_n=\frac1{a_n}$ をおくと一次の漸化式になる。さらに $x_n$ を $n(n+1)$ で割ると差の形になり、一般項が求まる。

最後の極限は、求めた一般項を用いてリーマン和に直せばよい。

解法1

**(1)**

$a_1=1$ より、

$$ a_2=\frac{1\cdot a_1}{2+1(a_1+1)} =\frac{1}{2+(1+1)} =\frac14

$$

同様に、

$$ a_3=\frac{2a_2}{2+2(a_2+1)} =\frac{2\cdot \frac14}{2+2\left(\frac14+1\right)} =\frac{\frac12}{\frac92} =\frac19

$$

さらに、

$$ a_4=\frac{3a_3}{2+3(a_3+1)} =\frac{3\cdot \frac19}{2+3\left(\frac19+1\right)} =\frac{\frac13}{\frac{16}3} =\frac1{16}

$$

したがって、

$$ a_2=\frac14,\qquad a_3=\frac19,\qquad a_4=\frac1{16}

$$

**(2)**

$x_n=\frac1{a_n}$ とおく。すると与えられた漸化式から

$$ x_{n+1} =\frac{2+n(a_n+1)}{na_n} =1+\frac{n+2}{n},x_n

$$

を得る。

ここで

$$ y_n=\frac{x_n}{n(n+1)}

$$

とおくと、

$$ \begin{aligned} y_{n+1} &=\frac{x_{n+1}}{(n+1)(n+2)}\\ &=\frac{\frac{n+2}{n}x_n+1}{(n+1)(n+2)}\\ &=\frac{x_n}{n(n+1)}+\frac1{(n+1)(n+2)}\\ &=y_n+\frac1{(n+1)(n+2)} \end{aligned}

$$

となる。

また、$a_1=1$ だから $x_1=1$ であり、

$$ y_1=\frac{x_1}{1\cdot2}=\frac12

$$

である。よって

$$ \begin{aligned} y_n &=y_1+\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{(k+1)(k+2)}\\ &=\frac12+\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac1{k+1}-\frac1{k+2}\right)\\ &=\frac12+\left(\frac12-\frac1{n+1}\right)\\ &=1-\frac1{n+1} =\frac{n}{n+1} \end{aligned}

$$

したがって、

$$ x_n=n(n+1)y_n =n(n+1)\cdot \frac{n}{n+1} =n^2

$$

ゆえに

$$ a_n=\frac1{x_n}=\frac1{n^2}

$$

である。

**(3)**

（2） より $a_n=\frac1{n^2}$ であるから、

$$ m\sum_{n=m+1}^{2m}a_n =m\sum_{n=m+1}^{2m}\frac1{n^2} =\frac1m\sum_{n=m+1}^{2m}\frac1{(n/m)^2}

$$

となる。これは区間 $[1,2]$ における関数 $f(x)=\frac1{x^2}$ のリーマン和である。したがって

$$ \lim_{m\to\infty}m\sum_{n=m+1}^{2m}a_n =\int_1^2 \frac1{x^2},dx =\left[-\frac1x\right]_1^2 =\frac12

$$

解説

この問題では、まず具体的に $a_2,a_3,a_4$ を求めると

$$ \frac14,\ \frac19,\ \frac1{16}

$$

となり、$a_n=\frac1{n^2}$ という形が見えやすい。しかし、予想だけでは不十分なので、逆数 $x_n=\frac1{a_n}$ を導入して一般項を厳密に求めるのが本筋である。

また、極限は一般項を得たあとで

$$ \frac1m\sum f\left(\frac{n}{m}\right)

$$

の形に直し、定積分へ移すのが典型的な処理である。

答え

**(1)**

$$ a_2=\frac14,\qquad a_3=\frac19,\qquad a_4=\frac1{16}

$$

**(2)**

$$ a_n=\frac1{n^2}

$$

**(3)**

$$ \lim_{m\to\infty}m\sum_{n=m+1}^{2m}a_n=\frac12

$$