解説

方針・初手

$f(x)$ は積分で定義された関数であるから、まず微分積分の基本定理を用いて $f'(x)$ を求める。

つぎに $g(x)=f\left(\dfrac{1}{x}\right)$ は合成関数なので、連鎖律を用いて $g'(x)$ を求める。

最後は

$$ h(x)=f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)

$$

とおいて微分すると定数であることが分かるので、適当な $x$ の値を代入して定数を確定する。

解法1

まず

$$ f(x)=\int_0^x \frac{dt}{1+t^2}

$$

であるから、微分積分の基本定理より

$$ f'(x)=\frac{1}{1+x^2}

$$

である。よって （1） の答えは

$$ \frac{d}{dx}f(x)=\frac{1}{1+x^2}

$$

である。

つぎに

$$ g(x)=f\left(\frac{1}{x}\right)

$$

であるから、連鎖律より

$$ g'(x)=f'\left(\frac{1}{x}\right)\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)

$$

となる。ここで

$$ f'\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2} =\frac{1}{1+\frac{1}{x^2}} =\frac{x^2}{x^2+1}

$$

であり、また

$$ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}

$$

であるから、

$$ g'(x)=\frac{x^2}{x^2+1}\cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) =-\frac{1}{x^2+1}

$$

となる。したがって （2） の答えは

$$ \frac{d}{dx}g(x)=-\frac{1}{1+x^2}

$$

である。

最後に

$$ h(x)=f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)

$$

とおくと、

$$ h'(x)=f'(x)+\frac{d}{dx}f\left(\frac{1}{x}\right) =\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+x^2}=0

$$

となる。よって $h(x)$ は定数である。

そこで $x=1$ を代入すると

$$ h(1)=f(1)+f(1)=2f(1)

$$

であり、

$$ f(1)=\int_0^1 \frac{dt}{1+t^2} =\left[\arctan t\right]_0^1 =\frac{\pi}{4}

$$

だから

$$ h(1)=2\cdot \frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}

$$

となる。したがって、すべての $x>0$ について

$$ f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{2}

$$

である。

解説

この問題の要点は、積分で定義された関数の微分に微分積分の基本定理を使うことと、合成関数の微分に連鎖律を使うことである。

（3） は $f(x)$ を直接計算してもよいが、（1） と （2） の結果を使って和の微分が $0$ になると見るのが自然であり、計算も簡潔になる。定数と分かった後に $x=1$ を代入して値を決める流れが典型である。

答え

**(1)**

$$ \frac{d}{dx}f(x)=\frac{1}{1+x^2}

$$

**(2)**

$$ \frac{d}{dx}g(x)=-\frac{1}{1+x^2}

$$

**(3)**

$$ f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{\pi}{2}

$$