解説

方針・初手

（1） は $e<3$ から $e^3<2^5$ を作れば、対数をとることで $\log 2$ の下界が得られる。

（2） は商の微分をそのまま行えばよい。途中で $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ を使うと簡単になる。

（3） は被積分関数を

$$ \frac{\sin x}{1+\cos x}-\frac{\cos x}{1+\cos x}

$$

と分ける。後半は （2） の結果を使うと処理しやすい。

（4） は （3） の値を （1） の評価で下からおさえて符号を判定する。

解法1

**(1)**

$e<3$ より

$$ e^3<3^3=27<32=2^5

$$

である。ここで対数関数 $\log x$ は単調増加であるから、両辺の対数をとって

$$ 3<5\log 2

$$

となる。したがって

$$ \log 2>\frac{3}{5}

$$

が成り立つ。

**(2)**

$$ f(x)=\frac{\sin x}{1+\cos x}-x

$$

とする。ただし $1+\cos x\neq 0$、すなわち $x\neq (2k+1)\pi \ (k\in\mathbb{Z})$ において考える。

商の微分法より

$$ \begin{aligned} f'(x) &=\frac{\cos x(1+\cos x)-\sin x(-\sin x)}{(1+\cos x)^2}-1 \\ &=\frac{\cos x+\cos^2 x+\sin^2 x}{(1+\cos x)^2}-1 \\ &=\frac{1+\cos x}{(1+\cos x)^2}-1 \\ &=\frac{1}{1+\cos x}-1 \\ &=-\frac{\cos x}{1+\cos x}. \end{aligned}

$$

よって

$$ f'(x)=-\frac{\cos x}{1+\cos x}

$$

である。

**(3)**

求める積分を $I$ とおく。

$$ I=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin x-\cos x}{1+\cos x},dx

$$

被積分関数を分けると

$$ I=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin x}{1+\cos x},dx-\int_0^{\pi/2}\frac{\cos x}{1+\cos x},dx

$$

である。

第1項は、$1+\cos x$ の微分が $-\sin x$ であることから

$$ \int \frac{\sin x}{1+\cos x},dx=-\log(1+\cos x)

$$

である。したがって

$$ \begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\frac{\sin x}{1+\cos x},dx &= \left[-\log(1+\cos x)\right]_0^{\pi/2} \\ -\log 1+\log 2 \\ \log 2 \end{aligned} $$

となる。

第2項は （2） より

$$ -\frac{\cos x}{1+\cos x}=f'(x)

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} -\int_0^{\pi/2}\frac{\cos x}{1+\cos x},dx &= \int_0^{\pi/2}f'(x),dx \\ f\left(\frac{\pi}{2}\right)-f(0) \end{aligned} $$

となる。ここで

$$ f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\sin(\pi/2)}{1+\cos(\pi/2)}-\frac{\pi}{2}=1-\frac{\pi}{2}, \qquad f(0)=\frac{\sin 0}{1+\cos 0}-0=0

$$

より

$$ -\int_0^{\pi/2}\frac{\cos x}{1+\cos x},dx=1-\frac{\pi}{2}

$$

である。

以上より

$$ I=\log 2+1-\frac{\pi}{2}

$$

となる。

**(4)**

（1） より

$$ \log 2>\frac{3}{5}

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} I=1+\log 2-\frac{\pi}{2} \\ > \\ 1+\frac{3}{5}-\frac{\pi}{2} \\ \frac{8}{5}-\frac{\pi}{2} \end{aligned} $$

を得る。

さらに $\pi<\dfrac{22}{7}$ を用いると

$$ \begin{aligned} \frac{8}{5}-\frac{\pi}{2} \\ > \\ \frac{8}{5}-\frac{11}{7} \\ \frac{56-55}{35} \\ \frac{1}{35} \\ > \\ 0 \end{aligned} $$

である。したがって

$$ I>0

$$

であり、（3） で求めた値は正である。

解説

この問題では、（1） で $\log 2$ に具体的な下界をつけることが核心である。$e<3$ からそのまま $\log 2$ を考えるのではなく、$2^5$ と $e^3$ を比較して対数をとる形に持ち込むのが典型手法である。

また （2） の導関数は （3） の積分計算にそのまま使える。単なる微分計算で終わらせず、後続の設問とのつながりを見ることが重要である。

（3） は被積分関数を2つに分けると自然に処理できる。$\dfrac{\sin x}{1+\cos x}$ は置換不要で直接積分でき、$\dfrac{\cos x}{1+\cos x}$ の方は （2） の結果を使うと端点評価に帰着する。

答え

**(1)**

$$ \log 2>\frac{3}{5}

$$

**(2)**

$$ f'(x)=-\frac{\cos x}{1+\cos x} \qquad \left(x\neq (2k+1)\pi\right)

$$

**(3)**

$$ \begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\frac{\sin x-\cos x}{1+\cos x},dx &= 1+\log 2-\frac{\pi}{2} \end{aligned} $$

**(4)**

$$ 1+\log 2-\frac{\pi}{2}>0

$$

したがって、（3） で求めた値は正である。