解説

方針・初手

被積分関数に $x^{-2}$ があるので、部分積分で

$$ \frac{1}{x^2},dx

$$

を微分形として扱うと境界項がきれいに出る。 対数部分

$$ \log\sqrt{1+x^2}=\frac{1}{2}\log(1+x^2)

$$

の微分は

$$ \frac{x}{1+x^2}

$$

となるため、残りの積分は $\dfrac{1}{1+x^2}$ に簡単化される。

解法1

求める積分を

$$ I=\int_1^{\sqrt3}\frac{1}{x^2}\log\sqrt{1+x^2},dx

$$

とおく。

ここで部分積分を用いる。 $f(x)=\log\sqrt{1+x^2}$、$g'(x)=\dfrac{1}{x^2}$ とすると、

$$ f'(x)=\frac{x}{1+x^2},\qquad g(x)=-\frac{1}{x}

$$

であるから、

$$ I=\left[-\frac{\log\sqrt{1+x^2}}{x}\right]_1^{\sqrt3} +\int_1^{\sqrt3}\frac{1}{x}\cdot\frac{x}{1+x^2},dx

$$

となる。よって

$$ I=\left[-\frac{\log\sqrt{1+x^2}}{x}\right]_1^{\sqrt3} +\int_1^{\sqrt3}\frac{1}{1+x^2},dx

$$

である。

まず境界項を計算する。

$x=\sqrt3$ のとき

$$ \log\sqrt{1+(\sqrt3)^2}=\log\sqrt4=\log2

$$

であり、$x=1$ のとき

$$ \log\sqrt{1+1^2}=\log\sqrt2=\frac{1}{2}\log2

$$

であるから、

$$ \left[-\frac{\log\sqrt{1+x^2}}{x}\right]_1^{\sqrt3} =-\frac{\log2}{\sqrt3}+\frac{1}{2}\log2

$$

となる。

次に

$$ \int_1^{\sqrt3}\frac{1}{1+x^2},dx =\left[\arctan x\right]_1^{\sqrt3} =\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4} =\frac{\pi}{12}

$$

である。

以上より、

$$ I=-\frac{\log2}{\sqrt3}+\frac{1}{2}\log2+\frac{\pi}{12}

$$

したがって

$$ I=\frac{\pi}{12}+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt3}\right)\log2

$$

である。

解説

この問題の要点は、対数をそのまま積分しようとせず、$\dfrac{1}{x^2}$ に着目して部分積分することである。

実際、

$$ \frac{d}{dx}\left(\log\sqrt{1+x^2}\right)=\frac{x}{1+x^2}

$$

なので、$\dfrac{1}{x}$ と掛け合わさって

$$ \frac{1}{1+x^2}

$$

に落ちる。この形は $\arctan x$ の微分そのものであり、計算が一気に簡単になる。

答え

$$ \begin{aligned} \int_1^{\sqrt3}\frac{1}{x^2}\log\sqrt{1+x^2},dx &= \frac{\pi}{12}+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt3}\right)\log2 \end{aligned} $$