解説

方針・初手

$f(x)=\dfrac{x}{1+4x^2}$ は有理関数であり、極値は微分して増減を調べればよい。

また、不定積分は分母の微分が $8x$ であることに注目すると対数型に帰着する。

さらに、$f(\alpha)=f(\beta)$ は分母を払って整理すれば $\alpha\beta$ に関する関係式が得られ、（4） はその関係を不定積分の結果に代入すれば示せる。

解法1

**(1)**

$f(x)$ の極値を求める。

$$ f(x)=\frac{x}{1+4x^2}

$$

より、商の微分法を用いると

$$ f'(x)=\frac{(1+4x^2)-8x^2}{(1+4x^2)^2} =\frac{1-4x^2}{(1+4x^2)^2}

$$

となる。

分母 $(1+4x^2)^2$ は常に正であるから、$f'(x)$ の符号は $1-4x^2$ の符号で決まる。

$$ 1-4x^2=0 \iff x=\pm \frac12

$$

したがって、

• $x<-\dfrac12$ で $f'(x)<0$
• $-\dfrac12<x<\dfrac12$ で $f'(x)>0$
• $x>\dfrac12$ で $f'(x)<0$

である。

よって、$x=-\dfrac12$ で極小、$x=\dfrac12$ で極大をとる。

それぞれの値は

$$ f\left(-\frac12\right)=\frac{-1/2}{1+4\cdot(1/2)^2} =\frac{-1/2}{2} =-\frac14

$$

$$ f\left(\frac12\right)=\frac{1/2}{1+4\cdot(1/2)^2} =\frac{1/2}{2} =\frac14

$$

である。

したがって、極小値は $-\dfrac14$、極大値は $\dfrac14$ である。

（2） 不定積分 $\displaystyle \int f(x),dx$ を求める。

$$ \int \frac{x}{1+4x^2},dx

$$

において、$u=1+4x^2$ とおくと

$$ du=8x,dx

$$

であるから、

$$ \int \frac{x}{1+4x^2},dx =\frac18\int \frac{1}{u},du =\frac18\log(1+4x^2)+C

$$

となる。

したがって、

$$ \int f(x),dx=\frac18\log(1+4x^2)+C

$$

である。

**(3)**

$f(\alpha)=f(\beta)$ を満たす正の数 $\alpha,\beta\ (0<\alpha<\beta)$ に対して、$\alpha\beta$ を求める。

条件より

$$ \begin{aligned} \frac{\alpha}{1+4\alpha^2} &= \frac{\beta}{1+4\beta^2} \end{aligned} $$

である。分母を払うと

$$ \alpha(1+4\beta^2)=\beta(1+4\alpha^2)

$$

すなわち

$$ \alpha+4\alpha\beta^2=\beta+4\alpha^2\beta

$$

これを整理すると

$$ \beta-\alpha=4\alpha\beta(\beta-\alpha)

$$

となる。

ここで $0<\alpha<\beta$ より $\beta-\alpha\neq 0$ であるから、両辺を $\beta-\alpha$ で割って

$$ 1=4\alpha\beta

$$

を得る。したがって、

$$ \alpha\beta=\frac14

$$

である。

（4） 上の （3） の条件を満たす $\alpha,\beta$ に対し、

$$ \int_{\alpha}^{\beta} f(x),dx=\frac14(\log\beta+\log2)

$$

となることを示す。

（2） の結果より

$$ \begin{aligned} \int_{\alpha}^{\beta} f(x),dx &= \left[\frac18\log(1+4x^2)\right]_{\alpha}^{\beta} \\ \frac18\log\frac{1+4\beta^2}{1+4\alpha^2} \end{aligned} $$

である。

ここで （3） より

$$ \alpha\beta=\frac14

$$

なので、

$$ \alpha=\frac{1}{4\beta}

$$

と表せる。これを用いると

$$ \begin{aligned} 1+4\alpha^2 &= 1+4\left(\frac{1}{4\beta}\right)^2 \\ 1+\frac{1}{4\beta^2} \\ \frac{4\beta^2+1}{4\beta^2} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{1+4\beta^2}{1+4\alpha^2} &= \frac{1+4\beta^2}{(4\beta^2+1)/(4\beta^2)} \\ 4\beta^2 \end{aligned} $$

となる。よって

$$ \begin{aligned} \int_{\alpha}^{\beta} f(x),dx &= \frac18\log(4\beta^2) \\ &= \frac18(\log4+\log\beta^2) \\ &= \frac18(2\log2+2\log\beta) \\ &= \frac14(\log2+\log\beta) \end{aligned} $$

したがって

$$

\int_{\alpha}^{\beta} f(x),dx=\frac14(\log\beta+\log2)

$$

が示された。

解説

この問題の中心は、$f(x)=\dfrac{x}{1+4x^2}$ の分母 $1+4x^2$ に注目することである。

極値では微分すると分子が $1-4x^2$ となり、符号判定が簡単になる。不定積分では分母の微分が $8x$ であるため、対数型の基本積分に直結する。

また、$f(\alpha)=f(\beta)$ は単に方程式を解くのではなく、分母を払って整理すると $(\beta-\alpha)$ をくくり出せることが重要である。そこから $\alpha\beta=\dfrac14$ が得られ、（4） ではこの関係を積分結果に代入するだけで処理できる。

答え

**(1)**

極小値は $-\dfrac14$（$x=-\dfrac12$ のとき）、極大値は $\dfrac14$（$x=\dfrac12$ のとき）である。

**(2)**

\int f(x),dx=\frac18\log(1+4x^2)+C

$$

**(3)**

$$

\alpha\beta=\frac14

$$

**(4)**

$$

\int_{\alpha}^{\beta} f(x),dx=\frac14(\log\beta+\log2)

$$

である。