解説

方針・初手

与えられた積分方程式

$$ \int_0^x (x-t)f(t),dt=\log(1+x^2)

$$

は、$x$ で微分すると積分の形が大きく簡単になる。

実際、左辺を1回微分すると $\int_0^x f(t),dt$ になり、さらにもう1回微分すると $f(x)$ が直接取り出せる。したがって、まず両辺を2回微分して $f(x)$ を求めるのが基本方針である。

解法1

**(1)**

$f(x)$ を求め、グラフの概形を調べる。

左辺を

$$ I(x)=\int_0^x (x-t)f(t),dt

$$

とおく。

このとき、積分の上端に $x$ が入っているので微分すると

$$ I'(x)=\int_0^x f(t),dt

$$

である。実際、被積分関数 $(x-t)f(t)$ を $x$ で微分すると $f(t)$ となり、さらに上端 $t=x$ による項は $(x-x)f(x)=0$ だから消える。

さらにもう1回微分すると

$$ I''(x)=f(x)

$$

となる。

一方、右辺は

$$ I(x)=\log(1+x^2)

$$

であるから、

$$ f(x)=\frac{d^2}{dx^2}\log(1+x^2)

$$

である。まず1回微分すると

$$ \frac{d}{dx}\log(1+x^2)=\frac{2x}{1+x^2}

$$

さらに微分して

$$ f(x)=\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)' =\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}

$$

を得る。

したがって、

$$ f(x)=\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}

$$

である。

次にグラフの概形を調べる。

まず $f(-x)=f(x)$ であるから、$y$ 軸対称の偶関数である。

$x$ 軸との交点は

$$ 2(1-x^2)=0

$$

より

$$ x=\pm 1

$$

である。

また、

$$ f(0)=2

$$

であり、$|x|<1$ では $f(x)>0$、$|x|>1$ では $f(x)<0$ となる。

増減を見るために微分すると

$$ f'(x)=\frac{4x(x^2-3)}{(1+x^2)^3}

$$

である。よって、$f'(x)=0$ となるのは

$$ x=-\sqrt{3},\ 0,\ \sqrt{3}

$$

である。

それぞれの値は

$$ f(0)=2,\qquad f(\pm\sqrt{3})=\frac{2(1-3)}{(1+3)^2}=-\frac14

$$

となる。

さらに $x\to\pm\infty$ で

$$ f(x)\to 0

$$

であり、そのとき負の側から $0$ に近づく。

したがって、グラフは

• $y$ 軸対称
• $(0,2)$ を通る
• $(-1,0),(1,0)$ で $x$ 軸と交わる
• $x=\pm\sqrt{3}$ で極小値 $-\dfrac14$
• $x\to\pm\infty$ で $y=0$ に近づく

という概形である。

**(2)**

$x$ 軸との交点を $P(a,0),Q(b,0)\ (a<b)$ とするとき、$a,b$ を求める。

（1） より、$x$ 軸との交点は $x=\pm1$ だから、

$$ a=-1,\qquad b=1

$$

である。

**(3)**

$a\le x\le b$ において、曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸で囲まれる部分の面積 $S_1$ を求める。

（2） より $a=-1,\ b=1$ である。また、$-1\le x\le1$ では $f(x)\ge0$ であるから、

$$ S_1=\int_{-1}^{1} f(x),dx

$$

となる。

ここで

$$ f(x)=\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)'

$$

だから、

$$ S_1=\left[\frac{2x}{1+x^2}\right]_{-1}^{1} =1-(-1)=2

$$

よって、

$$ S_1=2

$$

である。

**(4)**

$g(x)=x\displaystyle\int_0^x f(t),dt,\ h(x)=\dfrac{2}{1+x^2}$ とする。このとき、曲線 $y=g(x)$ と曲線 $y=h(x)$ で囲まれる部分の面積 $S_2$ を求める。

まず、

$$ \int_0^x f(t),dt=I'(x)=\frac{2x}{1+x^2}

$$

であるから、

$$ g(x)=x\cdot \frac{2x}{1+x^2} =\frac{2x^2}{1+x^2}

$$

となる。

したがって、2曲線は

$$ y=g(x)=\frac{2x^2}{1+x^2},\qquad y=h(x)=\frac{2}{1+x^2}

$$

である。

交点は

$$ \frac{2x^2}{1+x^2}=\frac{2}{1+x^2}

$$

より

$$ x^2=1

$$

すなわち

$$ x=\pm1

$$

である。

さらに、$-1<x<1$ では $x^2<1$ だから

$$ g(x)<h(x)

$$

となる。よって、囲まれる部分の面積は

$$ S_2=\int_{-1}^{1}{h(x)-g(x)},dx

$$

である。

ここで

$$ h(x)-g(x) =\frac{2}{1+x^2}-\frac{2x^2}{1+x^2} =\frac{2(1-x^2)}{1+x^2}

$$

だから、

$$ S_2=\int_{-1}^{1}\frac{2(1-x^2)}{1+x^2},dx

$$

この被積分関数を

$$ \frac{2(1-x^2)}{1+x^2} =-2+\frac{4}{1+x^2}

$$

と変形すると、

$$ S_2=\int_{-1}^{1}\left(-2+\frac{4}{1+x^2}\right),dx

$$

となる。よって、

$$ \begin{aligned} S_2 &=\left[-2x+4\tan^{-1}x\right]_{-1}^{1} \\ &=\left(-2+\pi\right)-\left(2-\pi\right) \\ &=2\pi-4 \end{aligned}

$$

したがって、

$$ S_2=2\pi-4

$$

である。

解説

この問題の核心は、積分方程式

$$ \int_0^x (x-t)f(t),dt

$$

を2回微分すると $f(x)$ がそのまま出てくる点にある。ここに気づけば、以後は微分・積分の標準計算に落ちる。

また、（4） では

$$ \int_0^x f(t),dt=\frac{2x}{1+x^2}

$$

を素早く使えるかどうかが重要である。改めて積分し直す必要はなく、（1） で求めた関係をそのまま利用すればよい。

答え

**(1)**

$$ f(x)=\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}

$$

グラフは偶関数で $y$ 軸対称、$(0,2)$ を通り、$x=\pm1$ で $x$ 軸と交わり、$x=\pm\sqrt3$ で極小値 $-\dfrac14$ をとり、$x\to\pm\infty$ で $0$ に近づく。

**(2)**

$$ a=-1,\qquad b=1

$$

**(3)**

$$ S_1=2

$$

**(4)**

$$ S_2=2\pi-4

$$