解説

方針・初手

交点では $\sin x=k\cos x$ が成り立つ。$k>0$ であるため、交点の一方は第1象限、もう一方はそこから $\pi$ だけ進んだ位置にあることを利用する。

面積は、区間 $\alpha \leqq x \leqq \beta$ でどちらの曲線が上にあるかを確認してから、差の積分で求める。

解法1

交点では

$$ \sin x=k\cos x

$$

より、

$$ \tan x=k

$$

である。

$k>0$ だから、$0\leqq x\leqq 2\pi$ において $\tan x=k$ を満たす解は第1象限と第3象限に1つずつ存在する。よって

$$ 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\qquad \beta=\alpha+\pi

$$

である。また、交点 $x=\alpha$ において

$$ k=\tan\alpha

$$

である。

したがって、(1) の答えは

$$ k=\tan\alpha,\qquad \beta=\alpha+\pi

$$

である。

次に面積 $S$ を求める。区間 $\alpha<x<\beta$ において

$$ \sin x-k\cos x

$$

の符号を考える。例えば $x=\dfrac{\pi}{2}$ はこの区間に含まれ、

$$ \sin\frac{\pi}{2}-k\cos\frac{\pi}{2}=1>0

$$

である。したがって、この区間では $y=\sin x$ が $y=k\cos x$ より上にある。

よって面積 $S$ は

$$ S=\int_{\alpha}^{\beta}(\sin x-k\cos x),dx

$$

である。これを計算すると、

$$ \begin{aligned} S &=\left[-\cos x-k\sin x\right]_{\alpha}^{\beta} \\ &=(-\cos\beta-k\sin\beta)-(-\cos\alpha-k\sin\alpha) \end{aligned}

$$

となる。

ここで $\beta=\alpha+\pi$ より

$$ \cos\beta=-\cos\alpha,\qquad \sin\beta=-\sin\alpha

$$

だから、

$$ \begin{aligned} S &=(\cos\alpha+k\sin\alpha)+\cos\alpha+k\sin\alpha \\ &=2(\cos\alpha+k\sin\alpha) \end{aligned}

$$

となる。

さらに $k=\tan\alpha$ より、

$$ \begin{aligned} \cos\alpha+k\sin\alpha &=\cos\alpha+\tan\alpha\sin\alpha \\ &=\cos\alpha+\frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha} \\ &=\frac{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}{\cos\alpha} \\ &=\frac{1}{\cos\alpha} \end{aligned}

$$

である。

したがって

$$ S=\frac{2}{\cos\alpha}

$$

である。

ここで $0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}$ かつ $k=\tan\alpha$ なので、

$$ \cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+k^2}}

$$

である。よって

$$ S=2\sqrt{1+k^2}

$$

を得る。

次に $S=4$ の場合を考える。

$$ 2\sqrt{1+k^2}=4

$$

より、

$$ \sqrt{1+k^2}=2

$$

である。したがって

$$ k^2=3

$$

となる。$k>0$ より

$$ k=\sqrt{3}

$$

である。

このとき

$$ \tan\alpha=\sqrt{3}

$$

であり、$0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}$ だから

$$ \alpha=\frac{\pi}{3}

$$

である。また

$$ \beta=\alpha+\pi=\frac{4\pi}{3}

$$

である。

求める $\theta$ は

$$ \int_{\alpha}^{\theta}(\sin x-\sqrt{3}\cos x),dx=2

$$

を満たす。

ここで

$$ \sin x-\sqrt{3}\cos x=2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)

$$

であるから、

$$ \int_{\pi/3}^{\theta}2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right),dx=2

$$

となる。

$t=x-\dfrac{\pi}{3}$ とおくと、積分区間は $0$ から $\theta-\dfrac{\pi}{3}$ になる。したがって

$$ \int_0^{\theta-\pi/3}2\sin t,dt=2

$$

である。

これを計算すると、

$$ \left[-2\cos t\right]_0^{\theta-\pi/3}=2

$$

より、

$$ -2\cos\left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)+2=2

$$

である。よって

$$ \cos\left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)=0

$$

となる。

また $\alpha\leqq\theta\leqq\beta$ より

$$ 0\leqq \theta-\frac{\pi}{3}\leqq \pi

$$

である。この範囲で余弦が $0$ となるのは

$$ \theta-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}

$$

である。

したがって

$$ \theta=\frac{5\pi}{6}

$$

である。

解説

この問題の中心は、交点条件 $\sin x=k\cos x$ を $\tan x=k$ に直すことである。$k>0$ なので、交点は第1象限と第3象限にあり、2つの交点の $x$ 座標は $\pi$ だけ離れる。

面積計算では、単に積分するのではなく、どちらの曲線が上にあるかを確認する必要がある。この問題では $\alpha<x<\beta$ において $\sin x-k\cos x>0$ となるので、

$$ S=\int_{\alpha}^{\beta}(\sin x-k\cos x),dx

$$

と置けばよい。

最後の面積を半分にする点 $\theta$ は、$S=4$ のとき $k=\sqrt{3}$ となることから、被積分関数を

$$ \sin x-\sqrt{3}\cos x=2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)

$$

と変形すると簡潔に求められる。

答え

**(1)**

$$ k=\tan\alpha,\qquad \beta=\alpha+\pi

$$

**(2)**

$$ S=2\sqrt{1+k^2}

$$

**(3)**

$$ \theta=\frac{5\pi}{6}

$$