解説

方針・初手

放物線と直線の差をとると、領域の高さが簡単な平方の形になる。したがって、まず

$$ \left(-x^2+1-t^2\right)-2\sqrt{3}x

$$

を整理して、共有点をもつ条件を求める。その後、交点の $x$ 座標の間で「上側の曲線 $-$ 下側の曲線」を積分すれば面積 $S(t)$ が求まる。

解法1

放物線と直線の差を計算すると、

$$ \left(-x^2+1-t^2\right)-2\sqrt{3}x = -x^2-2\sqrt{3}x+1-t^2 = 4-t^2-(x+\sqrt{3})^2

$$

となる。

したがって、連立不等式

$$ \begin{cases} y\ge 2\sqrt{3}x\\ y\le -x^2+1-t^2 \end{cases}

$$

が表す領域は、

$$ 2\sqrt{3}x \le y \le -x^2+1-t^2

$$

を満たす点全体であり、そのためには

$$ 2\sqrt{3}x \le -x^2+1-t^2

$$

すなわち

$$ 4-t^2-(x+\sqrt{3})^2 \ge 0

$$

が必要である。

（1） $t$ のとり得る値の範囲

放物線と直線が共有点をもつためには、上の不等式を満たす $x$ が少なくとも1つ存在しなければならない。よって

$$ 4-t^2 \ge 0

$$

である必要がある。したがって

$$ t^2 \le 4

$$

より、

$$ -2 \le t \le 2

$$

である。

よって、$t$ のとり得る値の範囲は

$$ -2 \le t \le 2

$$

である。

（2） $S(t)$ を $t$ で表す

$-2\le t\le 2$ のとき、

$$ (x+\sqrt{3})^2 \le 4-t^2

$$

を満たす $x$ の範囲は

$$ -\sqrt{3}-\sqrt{4-t^2}\le x\le -\sqrt{3}+\sqrt{4-t^2}

$$

である。

したがって面積 $S(t)$ は

$$ S(t)=\int_{-\sqrt{3}-\sqrt{4-t^2}}^{-\sqrt{3}+\sqrt{4-t^2}} \left\{\left(-x^2+1-t^2\right)-2\sqrt{3}x\right\},dx

$$

である。

ここで $u=x+\sqrt{3}$ とおくと、積分区間は

$$ -\sqrt{4-t^2}\le u\le \sqrt{4-t^2}

$$

となり、被積分関数は

$$ 4-t^2-u^2

$$

となる。よって

$$ S(t)=\int_{-\sqrt{4-t^2}}^{\sqrt{4-t^2}} (4-t^2-u^2),du

$$

である。

$a=\sqrt{4-t^2}$ とおくと、

$$ S(t)=\int_{-a}^{a}(a^2-u^2),du

$$

であり、

$$ \begin{aligned} S(t) &=\left[a^2u-\frac{u^3}{3}\right]_{-a}^{a}\\ &=\left(a^3-\frac{a^3}{3}\right)-\left(-a^3+\frac{a^3}{3}\right)\\ &=\frac{4}{3}a^3 \end{aligned}

$$

となる。したがって

$$ S(t)=\frac{4}{3}(4-t^2)^{3/2} \qquad (-2\le t\le 2)

$$

である。

なお、$t=\pm 2$ のときは共有点が1点のみとなり、上式からも

$$ S(\pm 2)=0

$$

となって条件と一致する。

（3） $\displaystyle \int_{-2}^{2} S(t),dt$ を求める

（2） より、

$$ \begin{aligned} \int_{-2}^{2} S(t),dt &= \frac{4}{3}\int_{-2}^{2}(4-t^2)^{3/2},dt \end{aligned} $$

である。

ここで

$$ t=2\sin\theta \qquad \left(-\frac{\pi}{2}\le \theta \le \frac{\pi}{2}\right)

$$

とおくと、

$$ dt=2\cos\theta,d\theta, \qquad (4-t^2)^{3/2}=(4-4\sin^2\theta)^{3/2}=8\cos^3\theta

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} \int_{-2}^{2} S(t),dt &=\frac{4}{3}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} 8\cos^3\theta \cdot 2\cos\theta,d\theta\\ &=\frac{64}{3}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^4\theta,d\theta \end{aligned}

$$

となる。

さらに、

$$ \begin{aligned} \cos^4\theta &= \left(\frac{1+\cos 2\theta}{2}\right)^2 \\ \frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos 2\theta+\frac{1}{8}\cos 4\theta \end{aligned} $$

より、

$$ \begin{aligned} \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^4\theta,d\theta &= \frac{3}{8}\pi \end{aligned} $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} \int_{-2}^{2} S(t),dt &= \frac{64}{3}\cdot \frac{3\pi}{8} \\ 8\pi \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題の本質は、2曲線の差が

$$ 4-t^2-(x+\sqrt{3})^2

$$

という「上に凸な二次式」になることにある。これにより、共有点条件は $4-t^2\ge 0$ とただちに分かり、面積も左右対称な形の積分に落ちる。

無理に交点を先に解いて計算を進めるより、まず平方完成して形を見るのが最も自然である。

答え

$$ \textbf{(1)}\ -2\le t\le 2

$$

$$ \textbf{(2)}\ S(t)=\frac{4}{3}(4-t^2)^{3/2}\qquad (-2\le t\le 2)

$$

$$ \textbf{(3)}\ \int_{-2}^{2}S(t),dt=8\pi

$$