解説

方針・初手

媒介変数表示された曲線なので、まず $\dfrac{dx}{dt},\dfrac{dy}{dt}$ を求めて $\dfrac{dy}{dx}$ を出す。

直線 $x+y=1$ に接する条件は、接点が直線上にあることと、その点で接線の傾きが $-1$ になることである。

面積は、そのまま $x$ で積分するよりも、$u=\sin^2 t$ とおくと多項式の積分に帰着できる。

解法1

**(1)**

$$ x=2\sin^8 t,\qquad y=k\cos^8 t

$$

より、

$$ \frac{dx}{dt}=16\sin^7 t\cos t,\qquad \frac{dy}{dt}=-8k\cos^7 t\sin t

$$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \\ \frac{-8k\cos^7 t\sin t}{16\sin^7 t\cos t} \\ -\frac{k}{2}\frac{\cos^6 t}{\sin^6 t} \\ -\frac{k}{2}\cot^6 t \end{aligned} $$

となる。

**(2)**

接するときの媒介変数を $t=t_0$ とする。このとき、接線の傾きは直線 $x+y=1$ の傾き $-1$ に等しいから、

$$ -\frac{k}{2}\cot^6 t_0=-1

$$

すなわち

$$ k=2\tan^6 t_0

$$

である。

また、接点は直線 $x+y=1$ 上にあるので、

$$ 2\sin^8 t_0+k\cos^8 t_0=1

$$

が成り立つ。ここに $k=2\tan^6 t_0$ を代入すると、

$$ 2\sin^8 t_0+2\tan^6 t_0\cos^8 t_0=1

$$

$$ 2\sin^8 t_0+2\sin^6 t_0\cos^2 t_0=1

$$

$$ 2\sin^6 t_0(\sin^2 t_0+\cos^2 t_0)=1

$$

$$ 2\sin^6 t_0=1

$$

よって、

$$ \sin^6 t_0=\frac12

$$

であり、$0<t_0<\dfrac{\pi}{2}$ だから

$$ \sin^2 t_0=2^{-1/3},\qquad \sin t_0=2^{-1/6}

$$

となる。

したがって接点の $x$ 座標は

$$ p=2\sin^8 t_0 =2\left(2^{-1/3}\right)^4 =2^{-1/3}

$$

であり、直線 $x+y=1$ 上にあるから

$$ q=1-p=1-2^{-1/3}

$$

である。

さらに

$$ \cos^2 t_0=1-\sin^2 t_0=1-2^{-1/3}

$$

より、

$$ \begin{aligned} k=2\tan^6 t_0 &= 2\frac{\sin^6 t_0}{\cos^6 t_0} \\ \frac{1}{\cos^6 t_0} \\ \left(1-2^{-1/3}\right)^{-3} \end{aligned} $$

となる。

また、

$$ t_0=\arcsin\left(2^{-1/6}\right)

$$

である。

**(3)**

$$ I_n=\int_0^{t_0}\cos^n t,dt

$$

とおく。部分積分により、

$$ \begin{aligned} I_n &= \left[\frac{1}{n}\sin t\cos^{n-1}t\right]*0^{t_0} + \frac{n-1}{n}I*{n-2} \end{aligned} $$

が成り立つ。

ここで

$$ s=\sin t_0=2^{-1/6},\qquad c=\cos t_0=\sqrt{1-2^{-1/3}}

$$

とおくと、

$$ I_2=\frac12 sc+\frac12 t_0

$$

である。

したがって、

$$ I_4=\frac14 sc^3+\frac34 I_2 =\frac38 t_0+\frac18 sc(2c^2+3)

$$

となる。よって

$$ \begin{aligned} \int_0^{t_0}\cos^4 t,dt &= \frac38 t_0+\frac18\cdot 2^{-1/6}\sqrt{1-2^{-1/3}},(5-2^{2/3}) \end{aligned} $$

を得る。

同様に、

$$ I_6=\frac16 sc^5+\frac56 I_4 =\frac{5}{16}t_0+\frac{1}{48}sc(8c^4+10c^2+15)

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} \int_0^{t_0}\cos^6 t,dt &= \frac{5}{16}t_0 + \frac{1}{48}\cdot 2^{-1/6}\sqrt{1-2^{-1/3}}, \left(33+4\cdot 2^{1/3}-13\cdot 2^{2/3}\right) \end{aligned} $$

となる。

**(4)**

求める図形では、$x=0$ のとき曲線上の点は $(0,k)$ であり、$k>1$ だから、$0\le x\le p$ では曲線 $S$ が直線 $x+y=1$ の上側にある。したがって面積を $A$ とすると、

$$ A=\int_0^p {y-(1-x)},dx

$$

である。

ここで

$$ u=\sin^2 t

$$

とおくと、

$$ x=2u^4,\qquad y=k(1-u)^4,\qquad dx=8u^3,du

$$

となる。また、$t=0$ で $u=0$、$t=t_0$ で

$$ u=\sin^2 t_0=2^{-1/3}=p

$$

であるから、

$$ A =

8\int_0^p {k(1-u)^4-1+2u^4}u^3,du

$$

となる。これを積分すると、

$$ A =

8\left[ k\left( \frac{u^4}{4}-\frac{4u^5}{5}+u^6-\frac{4u^7}{7}+\frac{u^8}{8} \right) -\frac{u^4}{4} +\frac{u^8}{4} \right]_0^p

$$

すなわち

$$ A =

k\left( 2p^4-\frac{32}{5}p^5+8p^6-\frac{32}{7}p^7+p^8 \right) -2p^4+2p^8

$$

である。

ここで $p^3=\dfrac12$ だから、

$$ p^4=\frac{p}{2},\qquad p^5=\frac{p^2}{2},\qquad p^6=\frac14,\qquad p^7=\frac{p}{4},\qquad p^8=\frac{p^2}{4}

$$

より、

$$ A =

k\left( 2-\frac{p}{7}-\frac{59}{20}p^2 \right) -p+\frac12 p^2

$$

となる。

また、$k=(1-p)^{-3}$ であり、$p^3=\dfrac12$ を用いると

$$ \frac{1}{(1-p)^3}=38+48p+60p^2

$$

が成り立つ。これを代入して整理すると、

$$ A=\frac{32}{35}+\frac{15}{14}p+\frac{54}{35}p^2

$$

を得る。最後に $p=2^{-1/3}$ を代入して、

$$ A =

\frac{32}{35} + \frac{15}{14\sqrt[3]{2}} + \frac{54}{35\sqrt[3]{4}}

$$

である。

解説

この問題の核心は、接する条件を「通る」と「傾きが一致する」に分けて使う点にある。

接する条件から $k=2\tan^6 t_0$ を出し、それを $x+y=1$ に代入すると、$\sin^6 t_0=\dfrac12$ がきれいに出る。ここで $\sin^2 t_0$ が直接求まり、そのまま $p=2\sin^8 t_0$ に入るので、接点座標まで一気に決まる。

面積では $u=\sin^2 t$ とおくのが自然である。これにより $x=2u^4,\ y=k(1-u)^4$ となり、被積分関数が多項式になるため、機械的に計算できる。

答え

**(1)**

$$ \frac{dy}{dx}=-\frac{k}{2}\cot^6 t

$$

**(2)**

$$ p=2^{-1/3},\qquad q=1-2^{-1/3},\qquad k=\left(1-2^{-1/3}\right)^{-3},\qquad t_0=\arcsin\left(2^{-1/6}\right)

$$

**(3)**

$$ \begin{aligned} \int_0^{t_0}\cos^4 t,dt &= \frac38 t_0+\frac18\cdot 2^{-1/6}\sqrt{1-2^{-1/3}},(5-2^{2/3}) \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \int_0^{t_0}\cos^6 t,dt &= \frac{5}{16}t_0 + \frac{1}{48}\cdot 2^{-1/6}\sqrt{1-2^{-1/3}}, \left(33+4\cdot 2^{1/3}-13\cdot 2^{2/3}\right) \end{aligned} $$

**(4)**

$$ \frac{32}{35} + \frac{15}{14\sqrt[3]{2}} + \frac{54}{35\sqrt[3]{4}}

$$