解説

方針・初手

（1） は $(\log x)^2$ が付いているので、部分積分によって対数の次数を下げる。

（2） は $\sin^2 x+3\cos^2 x$ の形をしているので、$t=\tan x$ とおいて三角関数を有理式に直す。

解法1

**(1)**

$$ I=\int_1^e x(\log x)^2,dx

$$

とおく。部分積分を用いると、

$$ I=\left[\frac{x^2}{2}(\log x)^2\right]_1^e-\int_1^e x\log x,dx

$$

となる。ここで

$$ J=\int_1^e x\log x,dx

$$

とおくと、再び部分積分より

$$ J=\left[\frac{x^2}{2}\log x\right]_1^e-\frac{1}{2}\int_1^e x,dx

$$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} J&=\frac{e^2}{2}-\frac{1}{2}\left[\frac{x^2}{2}\right]_1^e \\ &=\frac{e^2}{2}-\frac{e^2-1}{4} \\ &=\frac{e^2+1}{4} \end{aligned}

$$

よって、

$$ \begin{aligned} I&=\frac{e^2}{2}-\frac{e^2+1}{4} \\ &=\frac{e^2-1}{4} \end{aligned}

$$

**(2)**

$$ t=\tan x

$$

とおく。このとき

$$ dt=\sec^2 x,dx=(1+\tan^2 x),dx=(1+t^2),dx

$$

であり、また

$$ \sin^2 x+3\cos^2 x =\cos^2 x(\tan^2 x+3) =\frac{t^2+3}{1+t^2}

$$

である。したがって、

$$ \frac{dx}{\sin^2 x+3\cos^2 x} =\frac{dx}{(t^2+3)/(1+t^2)} =\frac{1+t^2}{t^2+3},dx =\frac{dt}{t^2+3}

$$

となる。

積分区間は

$$ x=0\Rightarrow t=0,\qquad x=\frac{\pi}{4}\Rightarrow t=1

$$

であるから、

$$ \int_0^{\pi/4}\frac{dx}{\sin^2 x+3\cos^2 x} =\int_0^1\frac{dt}{t^2+3}

$$

ここで

$$ \int\frac{dt}{t^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctan\frac{t}{a}

$$

を用いると、

$$ \begin{aligned} \int_0^1\frac{dt}{t^2+3} &=\frac{1}{\sqrt{3}}\left[\arctan\frac{t}{\sqrt{3}}\right]_0^1 \\ &=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\arctan\frac{1}{\sqrt{3}}-\arctan 0\right) \\ &=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\pi}{6} \\ &=\frac{\pi}{6\sqrt{3}} \end{aligned}

$$

解説

（1） は対数の冪が付いた積分であり、部分積分で $\log x$ の次数を下げるのが基本方針である。$x$ は積分しやすいので、$(\log x)^2$ を微分する形にすると計算が自然に進む。

（2） は $\sin^2 x,\cos^2 x$ が二次式で現れているため、$t=\tan x$ による置換が有効である。この置換により分母が $t^2+3$ に整理され、標準的な逆正接の積分に帰着する。

答え

**(1)**

$$ \int_1^e x(\log x)^2,dx=\frac{e^2-1}{4}

$$

**(2)**

$$ \int_0^{\pi/4}\frac{dx}{\sin^2 x+3\cos^2 x}=\frac{\pi}{6\sqrt{3}}

$$