解説

方針・初手

$(1)$ は、まず

$$ f(x)=a\cos x+b

$$

をそのまま積分条件に代入し、$\int_0^\pi \cos x,dx$、$\int_0^\pi \cos^2 x,dx$、$\int_0^\pi \cos^3 x,dx$ を計算すればよい。

$(2)$ は、$(1)$ で得られた関係式を $a^2$ について解き、$b>0$ のもとでその右辺が取りうる最大値を調べればよい。

解法1

まず

$$ f(x)=a\cos x+b

$$

より、

$$ \begin{aligned} \int_0^\pi f(x),dx &= a\int_0^\pi \cos x,dx+b\int_0^\pi dx \\ b\pi \end{aligned} $$

である。

次に、

$$ {f(x)}^3=(a\cos x+b)^3 =a^3\cos^3 x+3a^2b\cos^2 x+3ab^2\cos x+b^3

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} \int_0^\pi {f(x)}^3,dx &= a^3\int_0^\pi \cos^3 x,dx +3a^2b\int_0^\pi \cos^2 x,dx +3ab^2\int_0^\pi \cos x,dx +b^3\int_0^\pi dx \end{aligned} $$

となる。

ここで、

$$ \int_0^\pi \cos x,dx=0, \qquad \int_0^\pi \cos^3 x,dx=0, \qquad \int_0^\pi \cos^2 x,dx=\frac{\pi}{2}

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} \int_0^\pi {f(x)}^3,dx &= 3a^2b\cdot \frac{\pi}{2}+b^3\pi \end{aligned} $$

を得る。

したがって、条件

$$ \begin{aligned} \int_0^\pi f(x),dx &= \frac{\pi}{4} + \int_0^\pi {f(x)}^3,dx \end{aligned} $$

は

$$ \begin{aligned} b\pi &= \frac{\pi}{4} + \left(\frac{3}{2}a^2b+b^3\right)\pi \end{aligned} $$

すなわち

$$ b=\frac14+\frac32a^2b+b^3

$$

と同値である。よって、$a,b$ の満たす関係式は

$$ b^3+\left(\frac32a^2-1\right)b+\frac14=0

$$

である。

あるいは、分母を払って

$$ 4b^3+(6a^2-4)b+1=0

$$

としてもよい。

次に $(2)$ を考える。上の式を $a^2$ について解くと、

$$ \frac32a^2b=b-b^3-\frac14

$$

より、

$$ a^2=\frac{4b-4b^3-1}{6b} =\frac23-\frac{1}{6b}-\frac23b^2 \qquad (b>0)

$$

となる。

ここで

$$ \phi(b)=\frac23-\frac{1}{6b}-\frac23b^2 \qquad (b>0)

$$

とおくと、正の数 $b$ が存在するための条件は、$a^2$ が $\phi(b)$ の取りうる値の範囲に入ることである。

そこで最大値を調べる。

$$ \phi'(b)=\frac{1}{6b^2}-\frac{4}{3}b =\frac{1-8b^3}{6b^2}

$$

であるから、

$$ \phi'(b)=0 \iff 1-8b^3=0 \iff b=\frac12

$$

となる。また、$b\to 0+,\infty$ のとき $\phi(b)\to -\infty$ であるから、$b=\frac12$ で最大値をとる。

その最大値は

$$ \begin{aligned} \phi\left(\frac12\right) &= \frac23-\frac{1}{6\cdot \frac12}-\frac23\left(\frac12\right)^2 \\ \frac23-\frac13-\frac16 \\ \frac16 \end{aligned} $$

である。

したがって、正の数 $b$ が存在するための条件は

$$ a^2\le \frac16

$$

すなわち

$$ |a|\le \frac{1}{\sqrt6}

$$

である。

解説

この問題の要点は、$\cos x$ の奇数乗を $[0,\pi]$ で積分すると $0$ になること、および $\cos^2 x$ の積分が $\pi/2$ になることを正確に使う点にある。

$(2)$ では、$b$ を未知数とみて三次方程式の正の解の存在を直接調べてもよいが、$a^2$ を $b$ の式で表して最大値を求める方法の方が見通しがよい。特に、$b>0$ という条件を途中で落とさないことが重要である。

答え

**(1)**

$$ b^3+\left(\frac32a^2-1\right)b+\frac14=0

$$

すなわち

$$ 4b^3+(6a^2-4)b+1=0

$$

である。

**(2)**

正の数 $b$ が存在するための $a$ の条件は

$$ a^2\le \frac16

$$

すなわち

$$ -\frac1{\sqrt6}\le a\le \frac1{\sqrt6}

$$

である。