解説

方針・初手

（1） は加法定理をそのまま用いる。

（2） は合成関数の微分、すなわち $\sin^3 x$ を $(\sin x)^3$ と見て微分する。

（3） は （1） と （2） の結果を使って integrand を微分の形にまとめるのが最短である。

解法1

（1） 加法定理 $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$ を用いると、

$$ \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) =\sin x\cos\frac{\pi}{4}+\cos x\sin\frac{\pi}{4}

$$

である。ここで

$$ \cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}

$$

より、

$$ \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) =\frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{2}}

$$

となる。

**(2)**

$$ f(x)=\sin^3 x=(\sin x)^3

$$

であるから、合成関数の微分法により

$$ f'(x)=3(\sin x)^2\cdot \cos x =3\sin^2 x\cos x

$$

となる。

**(3)**

$$ I=\int_0^{\pi/6} e^{3x}\sin^2 x\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right),dx

$$

とおく。（1） より

$$ \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{2}}

$$

であるから、

$$ I=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_0^{\pi/6} e^{3x}\sin^2 x(\sin x+\cos x),dx

$$

すなわち

$$ I=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_0^{\pi/6} e^{3x}\left(\sin^3 x+\sin^2 x\cos x\right),dx

$$

となる。

ここで $e^{3x}\sin^3 x$ を微分すると、

$$ \begin{aligned} \frac{d}{dx}\left(e^{3x}\sin^3 x\right) &=3e^{3x}\sin^3 x+e^{3x}\cdot 3\sin^2 x\cos x \\ &=3e^{3x}\left(\sin^3 x+\sin^2 x\cos x\right) \end{aligned}

$$

である。したがって

$$ e^{3x}\left(\sin^3 x+\sin^2 x\cos x\right) =\frac{1}{3}\frac{d}{dx}\left(e^{3x}\sin^3 x\right)

$$

となるので、

$$ I=\frac{1}{3\sqrt{2}}\int_0^{\pi/6}\frac{d}{dx}\left(e^{3x}\sin^3 x\right),dx

$$

よって

$$ I=\frac{1}{3\sqrt{2}}\left[e^{3x}\sin^3 x\right]_0^{\pi/6}

$$

である。ここで

$$ \sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2},\qquad \sin 0=0

$$

より、

$$ \begin{aligned} I &=\frac{1}{3\sqrt{2}}\left(e^{\pi/2}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3-1\cdot 0\right) \\ &=\frac{e^{\pi/2}}{24\sqrt{2}} \end{aligned}

$$

となる。

解説

この問題は （1） の加法定理と （2） の微分結果を、（3） の積分でそのまま利用させる構成になっている。

（3） をそのまま積分しようとすると煩雑になるが、$\sin(x+\pi/4)$ を展開すると $\sin^3 x+\sin^2 x\cos x$ が現れる。これは $e^{3x}\sin^3 x$ の微分にちょうど含まれる形であり、全体を微分の形にまとめられる。小問同士のつながりを意識できるかが要点である。

答え

**(1)**

$$ \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{2}}

$$

**(2)**

$$ f'(x)=3\sin^2 x\cos x

$$

**(3)**

$$ \int_0^{\pi/6} e^{3x}\sin^2 x\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right),dx =\frac{e^{\pi/2}}{24\sqrt{2}}

$$