解説

方針・初手

媒介変数表示された曲線では、まず

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}

$$

を求めるのが基本である。

また、$0<t<\pi$ では $\sin t>0$ であるから $x=1-\cos t$ は $t$ とともに単調増加する。したがって、$t$ の増加に沿って曲線上の点の動きを追えば、概形も面積も整理しやすい。

解法1

**(1)**

$\dfrac{dy}{dx}$ を $t$ の関数として表す。

$$ x=1-\cos t,\qquad y=2-\sin 2t

$$

より、

$$ \frac{dx}{dt}=\sin t,\qquad \frac{dy}{dt}=-2\cos 2t

$$

である。したがって、$0<t<\pi$ では $\sin t>0$ なので、

$$ \begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= \frac{dy/dt}{dx/dt} \\ \frac{-2\cos 2t}{\sin t} \end{aligned} $$

となる。

**(2)**

$\dfrac{dy}{dx}=0$ を満たす $t$ と、そのときの $x$ を求める。

$0<t<\pi$ では $\sin t>0$ であるから、$\dfrac{dy}{dx}=0$ は

$$ -2\cos 2t=0

$$

すなわち

$$ \cos 2t=0

$$

と同値である。よって、

$$ 2t=\frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}

$$

より、

$$ t=\frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4}

$$

を得る。

このときの $x$ は

$$ t=\frac{\pi}{4}\ のとき\ x=1-\cos\frac{\pi}{4}=1-\frac{\sqrt2}{2},

$$

$$ t=\frac{3\pi}{4}\ のとき\ x=1-\cos\frac{3\pi}{4}=1+\frac{\sqrt2}{2}

$$

である。

（3） 曲線 $C$ の概形を調べる。

まず端点を求めると、

$$ t=0\ のとき\ (x,y)=(0,2), \qquad t=\pi\ のとき\ (x,y)=(2,2)

$$

である。

さらに、

$$ t=\frac{\pi}{2}\ のとき\ (x,y)=(1,2)

$$

である。

また、（2） より、$\dfrac{dy}{dx}=0$ となる点は

$$ \left(1-\frac{\sqrt2}{2},1\right),\qquad \left(1+\frac{\sqrt2}{2},3\right)

$$

である。実際、

$$ t=\frac{\pi}{4}\ のとき\ y=2-\sin\frac{\pi}{2}=1,

$$

$$ t=\frac{3\pi}{4}\ のとき\ y=2-\sin\frac{3\pi}{2}=3

$$

となる。

次に増減を調べる。$0<t<\pi$ では $\sin t>0$ なので、$\dfrac{dy}{dx}$ の符号は $-\cos 2t$ の符号で決まる。

• （i） $0<t<\dfrac{\pi}{4}$ では $\cos 2t>0$ より $\dfrac{dy}{dx}<0$
• （ii） $\dfrac{\pi}{4}<t<\dfrac{3\pi}{4}$ では $\cos 2t<0$ より $\dfrac{dy}{dx}>0$
• （iii） $\dfrac{3\pi}{4}<t<\pi$ では $\cos 2t>0$ より $\dfrac{dy}{dx}<0$

したがって、曲線 $C$ は $t=0$ で $(0,2)$ から出発し、右下がりに進んで

$$ \left(1-\frac{\sqrt2}{2},1\right)

$$

で極小をとる。その後右上がりに進んで $(1,2)$ を通り、

$$ \left(1+\frac{\sqrt2}{2},3\right)

$$

で極大をとり、最後は再び右下がりに進んで $(2,2)$ に至る。

なお、$0<t<\pi$ では $\dfrac{dx}{dt}=\sin t>0$ であるから、$x$ は単調増加し、曲線は左から右へ一度だけたどられる。

（4） 曲線 $C$ と直線 $x=2$、$x$ 軸、および $y$ 軸で囲まれた図形の面積を求める。

曲線上では

$$ y=2-\sin 2t

$$

であり、$\sin 2t\le 1$ だから

$$ y\ge 1

$$

である。したがって曲線全体は $x$ 軸の上側にある。さらに $x$ は $0$ から $2$ まで単調増加するので、求める面積 $S$ は曲線の下側の面積

$$ S=\int_0^2 y,dx

$$

に等しい。これを媒介変数で表すと、

$$ S=\int_0^\pi y\frac{dx}{dt},dt =\int_0^\pi (2-\sin 2t)\sin t,dt

$$

である。

ここで $\sin 2t=2\sin t\cos t$ を用いると、

$$ S=\int_0^\pi \left(2\sin t-2\sin^2 t\cos t\right),dt

$$

となる。よって、

$$ \begin{aligned} \int_0^\pi 2\sin t,dt &= \left[-2\cos t\right]_0^\pi =4 \end{aligned} $$

であり、また

$$ \begin{aligned} \int_0^\pi 2\sin^2 t\cos t,dt &= \frac{2}{3}\left[\sin^3 t\right]_0^\pi =0 \end{aligned} $$

だから、

$$ S=4

$$

を得る。

解説

この問題の要点は、媒介変数表示のまま処理することである。

特に、$0<t<\pi$ で $\sin t>0$ だから $x$ が単調増加することが重要である。これにより、$\dfrac{dy}{dx}=0$ は単に $\dfrac{dy}{dt}=0$ と見てよく、曲線の概形も $t$ の増加順に追えば確実に描ける。

また、面積も無理に $y$ を $x$ の式に直さず、

$$ \int y,dx=\int y(t)x'(t),dt

$$

を使えば自然に求められる。媒介変数表示の典型問題として押さえておきたい。

答え

**(1)**

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{-2\cos 2t}{\sin t} \qquad(0<t<\pi)

$$

**(2)**

$$ t=\frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4}

$$

そのとき

$$ x=1-\frac{\sqrt2}{2},\ 1+\frac{\sqrt2}{2}

$$

**(3)**

曲線は $(0,2)$ から出発し、右下がりに進んで

$$ \left(1-\frac{\sqrt2}{2},1\right)

$$

で極小をとり、その後右上がりに進んで $(1,2)$ を通り、

$$ \left(1+\frac{\sqrt2}{2},3\right)

$$

で極大をとって、最後に $(2,2)$ に至る。

**(4)**

求める面積は

$$ 4

$$