解説

方針・初手

交点の位置を直接 $a$ で扱うより、左側の交点の $x$ 座標を $t$ とおくのが自然である。曲線 $y=|\cos x|$ は $x=\dfrac{\pi}{2}$ を境に式が変わるので、交点は左右対称に現れることを利用する。

解法1

$0\leq x\leq \dfrac{\pi}{2}$ では $|\cos x|=\cos x$ であるから、左側の交点 $x=t$ は

$$ \cos t=a\sin t

$$

を満たす。したがって

$$ a=\frac{\cos t}{\sin t}

$$

である。

また、$\dfrac{\pi}{2}\leq x\leq \pi$ では $|\cos x|=-\cos x$ であり、右側の交点 $x=u$ は

$$ -\cos u=a\sin u

$$

を満たす。左右対称性より

$$ u=\pi-t

$$

である。

ここで $0<t<\dfrac{\pi}{2}$ である。

まず $S_1$ を求める。$0\leq x\leq t$ では $\cos x\geq a\sin x$ であるから、

$$ S_1=\int_0^t(\cos x-a\sin x),dx

$$

である。よって

$$ \begin{aligned} S_1 &=\left[\sin x+a\cos x\right]_0^t \\ &=\sin t+a\cos t-a. \end{aligned}

$$

次に $S_2$ を求める。$t\leq x\leq u$ では $a\sin x\geq |\cos x|$ である。さらに対称性より、

$$ S_2=2\int_t^{\pi/2}(a\sin x-\cos x),dx

$$

である。したがって

$$ \begin{aligned} S_2 &=2\left[-a\cos x-\sin x\right]_t^{\pi/2} \\ &=2(a\cos t+\sin t-1). \end{aligned}

$$

よって

$$ \begin{aligned} S_1+S_2 &=(\sin t+a\cos t-a)+2(a\cos t+\sin t-1) \\ &=3\sin t+3a\cos t-a-2. \end{aligned}

$$

ここで $a=\dfrac{\cos t}{\sin t}$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} S_1+S_2 &=3\sin t+3\frac{\cos^2 t}{\sin t}-\frac{\cos t}{\sin t}-2 \\ &=3\frac{\sin^2 t+\cos^2 t}{\sin t}-\frac{\cos t}{\sin t}-2 \\ &=\frac{3-\cos t}{\sin t}-2. \end{aligned}

$$

したがって

$$ F(t)=\frac{3-\cos t}{\sin t}-2

$$

を $0<t<\dfrac{\pi}{2}$ で最小にすればよい。

微分すると、

$$ \begin{aligned} F'(t) &=\frac{\sin t\cdot \sin t-(3-\cos t)\cos t}{\sin^2 t} \\ &=\frac{\sin^2 t-3\cos t+\cos^2 t}{\sin^2 t} \\ &=\frac{1-3\cos t}{\sin^2 t}. \end{aligned}

$$

よって $F'(t)=0$ となるのは

$$ \cos t=\frac{1}{3}

$$

のときである。

$0<t<\dfrac{\pi}{2}$ において、$\sin^2 t>0$ であり、$\cos t$ は $1$ から $0$ へ減少する。したがって $F'(t)$ は

$$ \cos t>\frac{1}{3}

$$

のとき負、

$$ \cos t<\frac{1}{3}

$$

のとき正である。

ゆえに $F(t)$ は $\cos t=\dfrac{1}{3}$ のとき最小となる。

このとき

$$ \sin t=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} S_1+S_2 &=\frac{3-\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}-2 \\ &=\frac{\frac{8}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}-2 \\ &=2\sqrt{2}-2. \end{aligned}

$$

また、

$$ a=\frac{\cos t}{\sin t} =\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} =\frac{1}{2\sqrt{2}} =\frac{\sqrt{2}}{4}.

$$

解説

この問題の要点は、$|\cos x|$ の絶対値によってグラフが $x=\dfrac{\pi}{2}$ を軸として左右対称になることを使い、交点を $t,\pi-t$ と表すことである。

面積を求める際には、どちらの曲線が上側にあるかを区間ごとに確認する必要がある。特に $S_2$ は中央部分の面積であり、$x=\dfrac{\pi}{2}$ を境に $|\cos x|$ の式が変わるが、対称性を用いると計算を半分にできる。

最後は $a$ ではなく $t$ を変数として最小化することで、式が

$$ S_1+S_2=\frac{3-\cos t}{\sin t}-2

$$

という扱いやすい形になる。

答え

$$ S_1+S_2\text{ の最小値}=2\sqrt{2}-2

$$

そのときの $a$ は

$$ a=\frac{\sqrt{2}}{4}

$$