基礎問題集
数学3 積分法「定積分・面積」の問題188 解説
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解説
方針・初手
交点の $x$ 座標を先に求める。$C_1$ と $C_3$ の交点を $x=\alpha$ とおくと、
$$ \sin \alpha=t\cos \alpha
$$
より、
$$ \tan \alpha=t
$$
である。$0<t<1$ なので、
$$ 0<\alpha<\frac{\pi}{4}
$$
となる。この位置関係をもとに、上下の曲線を確認して面積を積分で表す。
解法1
$C_1:y=\sin x$ と $C_3:y=t\cos x$ の交点を $x=\alpha$ とする。
$$ \tan \alpha=t
$$
であるから、
$$ \sin \alpha=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}},\qquad \cos \alpha=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}
$$
である。
まず、$y$ 軸、$C_1$、$C_3$ で囲まれる部分では、$0\leqq x\leqq \alpha$ において $C_3$ が上、$C_1$ が下にある。したがって、
$$ S_1=\int_0^\alpha (t\cos x-\sin x),dx
$$
である。これを計算すると、
$$ \begin{aligned} S_1 &=\left[t\sin x+\cos x\right]_0^\alpha\\ &=t\sin\alpha+\cos\alpha-1\\ &=t\cdot \frac{t}{\sqrt{1+t^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}-1\\ &=\sqrt{1+t^2}-1 \end{aligned}
$$
となる。
次に、$C_1,C_2,C_3$ で囲まれる部分の面積 $S_2$ を求める。$C_1$ と $C_2$ の交点は
$$ \sin x=\cos x
$$
より、
$$ x=\frac{\pi}{4}
$$
である。
$C_1,C_2,C_3$ で囲まれる領域は、$\alpha\leqq x\leqq \frac{\pi}{4}$ では上が $C_1$、下が $C_3$、$\frac{\pi}{4}\leqq x\leqq \frac{\pi}{2}$ では上が $C_2$、下が $C_3$ である。よって、
$$ S_2=\int_\alpha^{\pi/4}(\sin x-t\cos x),dx+\int_{\pi/4}^{\pi/2}(\cos x-t\cos x),dx
$$
である。
第1項は、
$$ \begin{aligned} \int_\alpha^{\pi/4}(\sin x-t\cos x),dx &=\left[-\cos x-t\sin x\right]_\alpha^{\pi/4}\\ &=\cos\alpha+t\sin\alpha-\frac{1+t}{\sqrt2}\\ &=\sqrt{1+t^2}-\frac{1+t}{\sqrt2} \end{aligned}
$$
である。
第2項は、
$$ \begin{aligned} \int_{\pi/4}^{\pi/2}(\cos x-t\cos x),dx &=(1-t)\int_{\pi/4}^{\pi/2}\cos x,dx\\ &=(1-t)\left(1-\frac{1}{\sqrt2}\right) \end{aligned}
$$
である。したがって、
$$ \begin{aligned} S_2 &=\sqrt{1+t^2}-\frac{1+t}{\sqrt2} +(1-t)\left(1-\frac{1}{\sqrt2}\right)\\ &=\sqrt{1+t^2}+1-t-\sqrt2 \end{aligned}
$$
となる。
ここで $S_1=S_2$ とすると、
$$ \sqrt{1+t^2}-1=\sqrt{1+t^2}+1-t-\sqrt2
$$
である。両辺から $\sqrt{1+t^2}$ を消すと、
$$ -1=1-t-\sqrt2
$$
より、
$$ t=2-\sqrt2
$$
を得る。この値は $0<t<1$ を満たす。
したがって、このときの $S_1$ は、
$$ \begin{aligned} S_1 &=\sqrt{1+t^2}-1\\ &=\sqrt{1+(2-\sqrt2)^2}-1\\ &=\sqrt{7-4\sqrt2}-1 \end{aligned}
$$
である。
解説
この問題では、交点の位置関係を正しく押さえることが重要である。$0<t<1$ なので、$C_1$ と $C_3$ の交点 $x=\alpha$ は $0<\alpha<\frac{\pi}{4}$ にある。
$S_1$ は $0\leqq x\leqq \alpha$ で $C_3-C_1$ を積分すればよい。一方、$S_2$ は上側の曲線が途中で $C_1$ から $C_2$ に変わるため、$x=\frac{\pi}{4}$ で積分区間を分ける必要がある。この分割を落とすと、面積の式が誤る。
答え
**(1)**
$$ S_1=\sqrt{1+t^2}-1
$$
**(2)**
$$ S_1=S_2
$$
となるのは、
$$ t=2-\sqrt2
$$
のときであり、このとき
$$ S_1=\sqrt{7-4\sqrt2}-1
$$