解説

方針・初手

指数関数 $e^{-x^2}$ は常に正なので，増減や符号は多項式部分で判断する。特に，$f(x)$ の極値は微分して符号変化を調べる。

また，面積は $f(x)$ の符号が変わる点で積分区間を分ける必要がある。

解法1

まず

$$ f(x)=(-4x^2+2)e^{-x^2}

$$

を微分する。

$$ \begin{aligned} f'(x) &=(-8x)e^{-x^2}+(-4x^2+2)(-2x)e^{-x^2} \\ &=(-8x+8x^3-4x)e^{-x^2} \\ &=(8x^3-12x)e^{-x^2} \\ &=4x(2x^2-3)e^{-x^2} \end{aligned}

$$

ここで $e^{-x^2}>0$ であるから，$f'(x)$ の符号は

$$ 4x(2x^2-3)

$$

の符号で決まる。

臨界点は

$$ 4x(2x^2-3)=0

$$

より，

$$ x=0,\quad x=\pm \sqrt{\frac{3}{2}}

$$

である。

符号を調べると，

$$ \begin{array}{c|cccc} x & (-\infty,-\sqrt{3/2}) & (-\sqrt{3/2},0) & (0,\sqrt{3/2}) & (\sqrt{3/2},\infty) \\ \hline f'(x) & - & + & - & + \end{array}

$$

となる。

したがって，$x=0$ で極大，$x=\pm\sqrt{\frac32}$ で極小をとる。

値を求めると，

$$ f(0)=2

$$

であり，

$$ \begin{aligned} f\left(\pm\sqrt{\frac32}\right) &= \left(-4\cdot \frac32+2\right)e^{-3/2} \\ -4e^{-3/2} \end{aligned} $$

である。

よって，$f(x)$ の極大値は $2$，極小値は $-4e^{-3/2}$ である。

次に，$a\geqq 0$ とし，

$$ I(a)=\int_0^a e^{-x^2},dx

$$

とする。

求める積分

$$ \int_0^a x^2e^{-x^2},dx

$$

について，次の微分を利用する。

$$ \begin{aligned} \frac{d}{dx}\left(xe^{-x^2}\right) &= e^{-x^2}-2x^2e^{-x^2} \end{aligned} $$

したがって，

$$ \begin{aligned} 2x^2e^{-x^2} &= e^{-x^2}-\frac{d}{dx}\left(xe^{-x^2}\right) \end{aligned} $$

であるから，

$$ \begin{aligned} x^2e^{-x^2} &= \frac12 e^{-x^2} \\ \frac12\frac{d}{dx}\left(xe^{-x^2}\right) \end{aligned} $$

となる。両辺を $0$ から $a$ まで積分すると，

$$ \begin{aligned} \int_0^a x^2e^{-x^2},dx &= \frac12\int_0^a e^{-x^2},dx &=

\frac12\left[xe^{-x^2}\right]_0^a \\ &= \frac12 I(a)-\frac12 ae^{-a^2} \end{aligned}

$$

よって，

$$ \begin{aligned} \int_0^a x^2e^{-x^2},dx &= \frac12 I(a)-\frac12 ae^{-a^2} \end{aligned} $$

である。

最後に，曲線 $y=f(x)$，$x$ 軸，$y$ 軸，直線 $x=5$ で囲まれる部分の面積を求める。

$f(x)$ の符号は

$$ f(x)=(-4x^2+2)e^{-x^2}

$$

より，$e^{-x^2}>0$ であるから，$-4x^2+2$ の符号で決まる。

$$ -4x^2+2=0

$$

を解くと，

$$ x=\pm\frac{1}{\sqrt2}

$$

である。

考える区間は $0\leqq x\leqq 5$ なので，符号が変わる点は

$$ x=\frac{1}{\sqrt2}

$$

である。したがって，面積 $S$ は

$$ S=\int_0^{1/\sqrt2} f(x),dx-\int_{1/\sqrt2}^{5} f(x),dx

$$

である。

ここで

$$ \begin{aligned} \frac{d}{dx}\left(2xe^{-x^2}\right) &= (2-4x^2)e^{-x^2} \\ f(x) \end{aligned} $$

であるから，

$$ \int f(x),dx=2xe^{-x^2}

$$

としてよい。

よって，

$$ \begin{aligned} S &= \left[2xe^{-x^2}\right]_0^{1/\sqrt2} &=

\left[2xe^{-x^2}\right]_{1/\sqrt2}^{5} \\ &= 2\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)e^{-1/2} &=

\left(10e^{-25}-2\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)e^{-1/2}\right) \\ &= \sqrt2e^{-1/2}-10e^{-25}+\sqrt2e^{-1/2} \\ &= 2\sqrt2e^{-1/2}-10e^{-25} \end{aligned}

$$

したがって，求める面積は

$$ 2\sqrt2e^{-1/2}-10e^{-25}

$$

である。

解説

この問題では，$e^{-x^2}$ が常に正であることを使って，符号判定を多項式部分に帰着するのが基本である。

(1) では，微分後の

$$ f'(x)=4x(2x^2-3)e^{-x^2}

$$

から，$e^{-x^2}$ を無視して $x(2x^2-3)$ の符号を調べればよい。

(2) では，$x^2e^{-x^2}$ をそのまま積分しようとせず，

$$ \frac{d}{dx}\left(xe^{-x^2}\right)=e^{-x^2}-2x^2e^{-x^2}

$$

を利用して，$I(a)$ に結びつける。

(3) では，面積なので符号を考えずに単純に $\int_0^5 f(x),dx$ としてはいけない。$x=\frac{1}{\sqrt2}$ で $f(x)$ の符号が変わるため，そこで区間を分けて絶対値付きの面積として計算する必要がある。

答え

**(1)**

極大値は

$$ 2

$$

極小値は

$$ -4e^{-3/2}

$$

である。

ただし，極大値は $x=0$，極小値は $x=\pm\sqrt{\frac32}$ でとる。

**(2)**

$$ \begin{aligned} \int_0^a x^2e^{-x^2},dx &= \frac12 I(a)-\frac12 ae^{-a^2} \end{aligned} $$

**(3)**

$$ 2\sqrt2e^{-1/2}-10e^{-25}

$$