解説

方針・初手

（1） 指数の肩に $\log x$ があるので、$5^{\log x}=x^{\log 5}$ と変形して、べき関数の積分に直す。

（2） 分子 $x+1$ を $x$ と $1$ に分ける。すると $\dfrac{x}{(x^2+1)^2}$ は $x^2+1$ の微分を利用して処理でき、残りも標準的な形にできる。

解法1

**(1)**

$$ 5^{\log x}=e^{(\log 5)(\log x)}=x^{\log 5}

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} \int_1^e 5^{\log x},dx &= \int_1^e x^{\log 5},dx \\ \left[\frac{x^{1+\log 5}}{1+\log 5}\right]_1^e \end{aligned} $$

となる。

ここで、

$$ e^{1+\log 5}=e\cdot e^{\log 5}=5e

$$

より、

$$ \begin{aligned} \int_1^e 5^{\log x},dx &= \frac{5e-1}{1+\log 5} \end{aligned} $$

である。

**(2)**

まず、

$$ \begin{aligned} \int_0^1 \frac{x+1}{(x^2+1)^2},dx &= \int_0^1 \frac{x}{(x^2+1)^2},dx + \int_0^1 \frac{1}{(x^2+1)^2},dx \end{aligned} $$

と分ける。

第1項は $u=x^2+1$ とみれば、

$$ \begin{aligned} \int \frac{x}{(x^2+1)^2},dx &= -\frac{1}{2(x^2+1)} \end{aligned} $$

である。

次に第2項について、

$$ \begin{aligned} \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2}\tan^{-1}x\right) &= \frac{1}{(x^2+1)^2} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \int \frac{1}{(x^2+1)^2},dx &= \frac{x}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2}\tan^{-1}x \end{aligned} $$

となる。

したがって、全体の原始関数は

$$ \begin{aligned} -\frac{1}{2(x^2+1)}+\frac{x}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2}\tan^{-1}x &= \frac{x-1}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2}\tan^{-1}x \end{aligned} $$

である。

よって、

$$ \begin{aligned} \int_0^1 \frac{x+1}{(x^2+1)^2},dx &= \left[\frac{x-1}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2}\tan^{-1}x\right]_0^1 \= \frac{1}{2}\tan^{-1}1-\left(-\frac{1}{2}\right) \\ &= \frac{\pi}{8}+\frac{1}{2} \end{aligned} $$

となる。

解説

（1） は、指数の中に対数があるときに $a^{\log x}=x^{\log a}$ と変形するのが基本である。これにより、通常のべき関数の積分に帰着する。

（2） は、分子を分けるのが要点である。$\dfrac{x}{(x^2+1)^2}$ は置換積分の形であり、$\dfrac{1}{(x^2+1)^2}$ は $\tan^{-1}x$ と $\dfrac{x}{x^2+1}$ を組み合わせた原始関数をもつ典型形である。

答え

**(1)**

\int_1^e 5^{\log x},dx=\frac{5e-1}{1+\log 5}

**(2)**

$$

\int_0^1 \frac{x+1}{(x^2+1)^2},dx=\frac{1}{2}+\frac{\pi}{8}

$$