基礎問題集
数学3 積分法「定積分・面積」の問題191 解説
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解説
方針・初手
まず交点 $(a,b)$ は
$$ \frac{1}{\cos x}=2\tan x
$$
を解けばよい。
また、(3) の積分では
$$ f'(x)=\frac{\sin x}{\cos^2 x}=\sec x\tan x
$$
より
$$ f(x)g(x)=\sec x\cdot 2\tan x=2\sec x\tan x=2f'(x)
$$
となることに気づくと処理が簡単になる。
解法1
（1） 交点 $(a,b)$ を求める。
交点では $f(x)=g(x)$ であるから、
$$ \frac{1}{\cos x}=2\tan x
$$
である。両辺に $\cos x$ を掛けると、
$$ 1=2\sin x
$$
となるので、
$$ \sin x=\frac{1}{2}
$$
を得る。区間 $-\dfrac{\pi}{2}<x<\dfrac{\pi}{2}$ においてこれを満たすのは
$$ x=\frac{\pi}{6}
$$
のみである。したがって
$$ a=\frac{\pi}{6}
$$
である。
このとき
$$ b=f\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{\cos \frac{\pi}{6}} =\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} =\frac{2}{\sqrt{3}} =\frac{2\sqrt{3}}{3}
$$
より、
$$ (a,b)=\left(\frac{\pi}{6},\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)
$$
である。
（2） 曲線 $y=f(x)$ の $(a,b)$ における接線を求める。
$f(x)=\sec x$ より、
$$ f'(x)=\sec x\tan x
$$
である。したがって、$x=a=\dfrac{\pi}{6}$ における傾きは
$$ f'\left(\frac{\pi}{6}\right) =\sec\frac{\pi}{6}\tan\frac{\pi}{6} =\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{2}{3}
$$
となる。
よって、点 $\left(\dfrac{\pi}{6},\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right)$ を通る接線は
$$ y-\frac{2\sqrt{3}}{3} =\frac{2}{3}\left(x-\frac{\pi}{6}\right)
$$
である。
**(3)**
$$ I=\int_0^a x f(x)g(x),dx
$$
を求める。
先に述べたように
$$ f(x)g(x)=2f'(x)
$$
であるから、
$$ I=2\int_0^a x f'(x),dx
$$
となる。ここで部分積分を用いると、
$$ \int_0^a x f'(x),dx =\left[xf(x)\right]_0^a-\int_0^a f(x),dx
$$
であるから、
$$ I=2\left[xf(x)\right]_0^a-2\int_0^a f(x),dx
$$
を得る。
ここで $a=\dfrac{\pi}{6}$、$f(a)=b=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ を用いると、
$$ 2\left[xf(x)\right]_0^a =2ab =2\cdot\frac{\pi}{6}\cdot\frac{2\sqrt{3}}{3} =\frac{2\pi\sqrt{3}}{9}
$$
である。
次に
$$ \int \sec x,dx=\log|\sec x+\tan x|+C
$$
より、
$$ \int_0^a f(x),dx =\int_0^{\pi/6}\sec x,dx =\left[\log(\sec x+\tan x)\right]_0^{\pi/6}
$$
となる。ここで
$$ \sec\frac{\pi}{6}+\tan\frac{\pi}{6} =\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}} =\sqrt{3}
$$
であり、また $x=0$ では $\sec 0+\tan 0=1$ だから、
$$ \int_0^a f(x),dx=\log\sqrt{3}
$$
である。したがって
$$ I=\frac{2\pi\sqrt{3}}{9}-2\log\sqrt{3} =\frac{2\pi\sqrt{3}}{9}-\log 3
$$
となる。
解説
交点は $\sec x=2\tan x$ をそのまま解けばよく、$\cos x$ を掛けるとすぐに $\sin x=\dfrac12$ に帰着する。
また、(3) は積分を直接計算しようとすると見通しが悪いが、
$$ f(x)g(x)=2f'(x)
$$
という関係に気づけば、部分積分で一気に処理できる。関数が複数与えられている問題では、このような微分関係を探すことが重要である。
答え
**(1)**
$$ (a,b)=\left(\frac{\pi}{6},\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)
$$
**(2)**
$$ y-\frac{2\sqrt{3}}{3} =\frac{2}{3}\left(x-\frac{\pi}{6}\right)
$$
**(3)**
$$ \begin{aligned} \int_0^a x f(x)g(x),dx &= \frac{2\pi\sqrt{3}}{9}-\log 3 \end{aligned} $$