解説

方針・初手

与えられている

$$ x=\frac{e^t+e^{-t}}{2}\quad (t\geqq 0)

$$

は，双曲線 $x^2-y^2=1$ を表す典型的な媒介表示につながる形である。まず （1） では $t$ の関数としての増減と凹凸を調べ，（2） では $x^2-1$ を整理して $\sqrt{x^2-1}$ を求める。（3） では

$$ a=\frac{e^s+e^{-s}}{2}

$$

に対応する点 $P(a,b)$ の $b$ を求め，三角形の面積から双曲線の下の部分の面積を引く。

解法1

**(1)**

$$ x=\frac{e^t+e^{-t}}{2}

$$

を $t$ で微分すると，

$$ \frac{dx}{dt}=\frac{e^t-e^{-t}}{2}

$$

である。$t\geqq 0$ では $e^t\geqq e^{-t}$ であるから，

$$ \frac{dx}{dt}\geqq 0

$$

となり，$x$ は単調増加する。

さらに 2 回微分すると，

$$ \frac{d^2x}{dt^2}=\frac{e^t+e^{-t}}{2}>0

$$

であるから，グラフは下に凸である。

また，

$$ x(0)=\frac{1+1}{2}=1

$$

であり，$t\to \infty$ で $x\to \infty$ となる。したがって，$t$ 軸を横軸，$x$ 軸を縦軸とするグラフは，点 $(0,1)$ を通り，$t\geqq 0$ で単調増加する下に凸の曲線である。

**(2)**

$$ x=\frac{e^t+e^{-t}}{2}

$$

より，

$$ x^2-1=\frac{(e^t+e^{-t})^2}{4}-1 =\frac{e^{2t}+2+e^{-2t}-4}{4} =\frac{e^{2t}-2+e^{-2t}}{4} =\left(\frac{e^t-e^{-t}}{2}\right)^2

$$

となる。$t\geqq 0$ では $e^t-e^{-t}\geqq 0$ なので，

$$ \sqrt{x^2-1}=\frac{e^t-e^{-t}}{2}

$$

である。

**(3)**

点 $P(a,b)$ は双曲線 $x^2-y^2=1$ 上の第1象限内の点であり，

$$ a=\frac{e^s+e^{-s}}{2}\quad (s>0)

$$

であるから，（2） より

$$ b=\sqrt{a^2-1}=\frac{e^s-e^{-s}}{2}

$$

である。

求める面積を $S$ とする。これは三角形 $OAP$（ただし $A=(a,0)$）の面積から，双曲線 $x^2-y^2=1$ と $x$ 軸で囲まれる部分 $(1\leqq x\leqq a)$ の面積を引いたものになる。

まず三角形 $OAP$ の面積は，

$$ \frac{1}{2}ab =\frac{1}{2}\cdot \frac{e^s+e^{-s}}{2}\cdot \frac{e^s-e^{-s}}{2} =\frac{e^{2s}-e^{-2s}}{8}

$$

である。

次に，双曲線の下の面積を求める。（2） の結果から，双曲線上では

$$ y=\sqrt{x^2-1}=\frac{e^t-e^{-t}}{2},\qquad x=\frac{e^t+e^{-t}}{2}

$$

とおける。このとき

$$ \frac{dx}{dt}=\frac{e^t-e^{-t}}{2}

$$

であり，$x=1$ のとき $t=0$，$x=a$ のとき $t=s$ であるから，

$$ \begin{aligned} \int_1^a \sqrt{x^2-1},dx &= \int_0^s \frac{e^t-e^{-t}}{2}\cdot \frac{e^t-e^{-t}}{2},dt \end{aligned} $$

となる。よって，

$$ \begin{aligned} \int_1^a \sqrt{x^2-1},dx &= \int_0^s \frac{e^{2t}-2+e^{-2t}}{4},dt \\ &= \left[\frac{e^{2t}-e^{-2t}}{8}-\frac{t}{2}\right]_0^s \\ &= \frac{e^{2s}-e^{-2s}}{8}-\frac{s}{2} \end{aligned} $$

である。

したがって，

$$

S=\frac{e^{2s}-e^{-2s}}{8} -\left(\frac{e^{2s}-e^{-2s}}{8}-\frac{s}{2}\right) =\frac{s}{2}

$$

となる。

解説

この問題の要点は，

$$

x=\frac{e^t+e^{-t}}{2}

$$

とおくと

$$

\sqrt{x^2-1}=\frac{e^t-e^{-t}}{2}

$$

が自然に現れ，双曲線 $x^2-y^2=1$ の第1象限部分を媒介表示できることである。（3） は，この対応を用いて双曲線の下の面積を $t$ で積分すると計算が大きく簡単になる。三角形の面積と組み合わせると，指数関数の項がきれいに消えて $\dfrac{s}{2}$ だけが残る。

答え

**(1)**

グラフは点 $(0,1)$ を通り，$t\geqq 0$ で単調増加する下に凸の曲線である。

**(2)**

$$

\sqrt{x^2-1}=\frac{e^t-e^{-t}}{2}

$$

**(3)**

求める面積は

$$

\frac{s}{2}

$$

である。