解説

方針・初手

積分の中で $x$ に依存しているのは $\cos(at-2ax)$ の部分だけである。加法定理で $t$ と $x$ を分離すると、右辺は $\cos 2ax$ と $\sin 2ax$ の一次結合に定数 $1$ を加えた形になる。

したがって、まず

$$ C=\int_0^{\pi/a} f(t)\cos at,dt,\qquad S=\int_0^{\pi/a} f(t)\sin at,dt

$$

とおいて、$C,S$ を決定する。

解法1

加法定理より、

$$ \cos(at-2ax)=\cos at\cos 2ax+\sin at\sin 2ax

$$

である。よって、与えられた式は

$$ f(x)=C\cos 2ax+S\sin 2ax+1

$$

と書ける。

ここで、改めて $x$ を $t$ に置き換えると

$$ f(t)=C\cos 2at+S\sin 2at+1

$$

である。これを $C,S$ の定義式に代入する。

まず $C$ について、

$$ \begin{aligned} C &=\int_0^{\pi/a}{C\cos 2at+S\sin 2at+1}\cos at,dt\\ &=C\int_0^{\pi/a}\cos 2at\cos at,dt +S\int_0^{\pi/a}\sin 2at\cos at,dt +\int_0^{\pi/a}\cos at,dt. \end{aligned}

$$

$u=at$ とおくと、積分区間は $0\leq u\leq \pi$ となる。

$$ \int_0^{\pi/a}\cos at,dt =\frac1a\int_0^\pi \cos u,du=0

$$

また、

$$ \int_0^{\pi/a}\cos 2at\cos at,dt =\frac1a\int_0^\pi \cos 2u\cos u,du=0

$$

さらに、

$$ \begin{aligned} \int_0^{\pi/a}\sin 2at\cos at,dt &=\frac1a\int_0^\pi \sin 2u\cos u,du\\ &=\frac1a\int_0^\pi 2\sin u\cos^2u,du\\ &=\frac1a\left[-\frac{2}{3}\cos^3u\right]_0^\pi\\ &=\frac{4}{3a}. \end{aligned}

$$

したがって、

$$ C=\frac{4}{3a}S

$$

を得る。

次に $S$ について、

$$ \begin{aligned} S &=\int_0^{\pi/a}{C\cos 2at+S\sin 2at+1}\sin at,dt\\ &=C\int_0^{\pi/a}\cos 2at\sin at,dt +S\int_0^{\pi/a}\sin 2at\sin at,dt +\int_0^{\pi/a}\sin at,dt. \end{aligned}

$$

各積分を計算する。

$$ \int_0^{\pi/a}\sin at,dt =\frac1a\int_0^\pi \sin u,du =\frac{2}{a}

$$

また、

$$ \begin{aligned} \int_0^{\pi/a}\cos 2at\sin at,dt &=\frac1a\int_0^\pi \cos 2u\sin u,du\\ &=\frac1a\int_0^\pi (2\cos^2u-1)\sin u,du\\ &=\frac1a\left(\frac{4}{3}-2\right)\\ &=-\frac{2}{3a}. \end{aligned}

$$

さらに、

$$ \int_0^{\pi/a}\sin 2at\sin at,dt =\frac1a\int_0^\pi 2\sin^2u\cos u,du=0

$$

である。よって、

$$ S=-\frac{2}{3a}C+\frac{2}{a}

$$

を得る。

以上より、$C,S$ は連立方程式

$$ \begin{cases} C=\dfrac{4}{3a}S,\\ S=-\dfrac{2}{3a}C+\dfrac{2}{a} \end{cases}

$$

を満たす。

第1式を第2式に代入すると、

$$ S=-\frac{2}{3a}\cdot \frac{4}{3a}S+\frac{2}{a}

$$

すなわち、

$$ \left(1+\frac{8}{9a^2}\right)S=\frac{2}{a}

$$

である。したがって、

$$ S=\frac{18a}{9a^2+8}

$$

となる。また、

$$ C=\frac{4}{3a}S=\frac{24}{9a^2+8}

$$

である。

よって求める関数は

$$ f(x)=1+\frac{24}{9a^2+8}\cos 2ax+\frac{18a}{9a^2+8}\sin 2ax

$$

である。

解説

この問題の本質は、積分方程式を直接解くのではなく、核 $\cos(at-2ax)$ を加法定理で分離する点にある。これにより、右辺は必ず $1,\cos 2ax,\sin 2ax$ の一次結合になる。

そのため、未知関数全体を求める問題が、未知定数 $C,S$ を求める連立方程式の問題に変わる。積分区間が $0$ から $\pi/a$ であるため、$u=at$ とおくと区間が $0$ から $\pi$ にそろい、三角関数の積分を処理しやすくなる。

答え

$$ \boxed{ f(x)=1+\frac{24}{9a^2+8}\cos 2ax+\frac{18a}{9a^2+8}\sin 2ax }

$$