解説

方針・初手

まず媒介変数表示を微分して，曲線 $C$ の接線・法線の方向を調べる。すると，法線が円 $x^2+y^2=1$ のどの点で接するかが自然に見える。

面積は，$0\leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ において $x$ が単調増加することを確かめたうえで，媒介変数表示のまま

$$ S=\int y,dx=\int y(\theta)x'(\theta),d\theta

$$

で求める。

解法1

**(1)**

曲線 $C$ は

$$ x=\cos\theta+\theta\sin\theta,\qquad y=\sin\theta-\theta\cos\theta

$$

で与えられるから，$\theta$ で微分すると

$$ \frac{dx}{d\theta}=\theta\cos\theta,\qquad \frac{dy}{d\theta}=\theta\sin\theta

$$

となる。

したがって，$\theta\neq 0$ では $C$ の接ベクトルは

$$ \left(\frac{dx}{d\theta},\frac{dy}{d\theta}\right)=\theta(\cos\theta,\sin\theta)

$$

である。よって，法線方向のベクトルの一つは

$$ (-\sin\theta,\cos\theta)

$$

である。

ここで，円 $x^2+y^2=1$ 上の点

$$ Q(\cos\theta,\sin\theta)

$$

を考える。このとき，$P$ の座標は

$$ P(\cos\theta+\theta\sin\theta,\ \sin\theta-\theta\cos\theta)

$$

であるから，

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{QP} &= (\theta\sin\theta,\ -\theta\cos\theta) \\ -\theta(-\sin\theta,\cos\theta) \end{aligned} $$

となる。したがって，$\overrightarrow{QP}$ は $C$ の法線方向に平行である。すなわち，$P$ における法線は点 $Q$ を通る。

一方，円 $x^2+y^2=1$ の半径 $\overrightarrow{OQ}$ は

$$ \overrightarrow{OQ}=(\cos\theta,\sin\theta)

$$

であり，

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OQ}\cdot\overrightarrow{QP} &= \cos\theta\cdot\theta\sin\theta+\sin\theta\cdot(-\theta\cos\theta) =0 \end{aligned} $$

である。よって，直線 $QP$ は半径 $OQ$ に垂直であるから，円 $x^2+y^2=1$ の $Q$ における接線である。

以上より，$C$ の $P$ における法線は円 $x^2+y^2=1$ に接することが示された。

**(2)**

$\theta=\dfrac{\pi}{2}$ のとき

$$ x=\cos\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\sin\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}, \qquad y=\sin\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2}=1

$$

より，

$$ B\left(\frac{\pi}{2},1\right)

$$

である。

また，

$$ \frac{dx}{d\theta}=\theta\cos\theta>0\qquad \left(0<\theta<\frac{\pi}{2}\right)

$$

であるから，$A$ から $B$ までの曲線は $x$ を変数とみて面積を積分できる。したがって求める面積 $S$ は

$$ S=\int_A^B y,dx =\int_0^{\pi/2}(\sin\theta-\theta\cos\theta)\cdot(\theta\cos\theta),d\theta

$$

である。これを

$$ S=I_1-I_2

$$

ただし

$$ I_1=\int_0^{\pi/2}\theta\sin\theta\cos\theta,d\theta,\qquad I_2=\int_0^{\pi/2}\theta^2\cos^2\theta,d\theta

$$

として計算する。

まず，

$$ \begin{aligned} I_1 &= \frac12\int_0^{\pi/2}\theta\sin2\theta,d\theta \end{aligned} $$

であるから，部分積分により

$$ \begin{aligned} I_1 &= \left[ -\frac{\theta}{4}\cos2\theta+\frac18\sin2\theta \right]_0^{\pi/2} &= \frac{\pi}{8} \end{aligned} $$

を得る。

次に，

$$ \begin{aligned} I_2 &= \frac12\int_0^{\pi/2}\theta^2,d\theta+\frac12\int_0^{\pi/2}\theta^2\cos2\theta,d\theta \end{aligned} $$

である。ここで

$$ \begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\theta^2\cos2\theta,d\theta &= \left[\frac{\theta^2}{2}\sin2\theta\right]_0^{\pi/2} -\int_0^{\pi/2}\theta\sin2\theta,d\theta \end{aligned} $$

であり，

$$ \begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\theta\sin2\theta,d\theta &= \left[ -\frac{\theta}{2}\cos2\theta+\frac14\sin2\theta \right]_0^{\pi/2} &= \frac{\pi}{4} \end{aligned} $$

だから，

$$ \begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\theta^2\cos2\theta,d\theta &= -\frac{\pi}{4} \end{aligned} $$

となる。よって

$$ \begin{aligned} I_2 &= \frac12\cdot\frac{(\pi/2)^3}{3}+\frac12\left(-\frac{\pi}{4}\right) \\ \frac{\pi^3}{48}-\frac{\pi}{8} \end{aligned} $$

である。

したがって，

$$ \begin{aligned} S = \\ \frac{\pi}{8}-\left(\frac{\pi^3}{48}-\frac{\pi}{8}\right) \\ \frac{\pi}{4}-\frac{\pi^3}{48} \\ \frac{\pi(12-\pi^2)}{48} \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題の要点は，媒介変数表示を微分したとき

$$ \left(\frac{dx}{d\theta},\frac{dy}{d\theta}\right)=\theta(\cos\theta,\sin\theta)

$$

となり，接線方向が非常に簡単になることである。そこから法線方向もすぐ分かり，さらに点 $Q(\cos\theta,\sin\theta)$ を導入すると，法線が円の接線そのものになっていることが見える。

面積は，媒介変数表示の曲線に対する

$$ \int y,dx

$$

の計算で素直に処理できる。$x'(\theta)>0$ を確認してから積分に入るのが基本である。

答え

**(1)**

$C$ の $P$ における法線は，円 $x^2+y^2=1$ 上の点 $Q(\cos\theta,\sin\theta)$ における接線である。したがって，この法線は円 $x^2+y^2=1$ に接する。

**(2)**

$B\left(\dfrac{\pi}{2},1\right)$ であり，求める面積は

$$ \frac{\pi(12-\pi^2)}{48}

$$

である。