解説

方針・初手

曲線 $y=\cos^3 x$ は $0\leq x\leq \dfrac{\pi}{2}$ で単調減少する。直線 $l:y=\cos^3\alpha$ は曲線と $x=\alpha$ で交わる。

したがって、面積はそれぞれ

$$ S_1=\int_0^\alpha \left(\cos^3 x-\cos^3\alpha\right),dx

$$

$$ S_2=\int_\alpha^{\frac{\pi}{2}} \left(\cos^3\alpha-\cos^3 x\right),dx

$$

と表せる。まず $\cos^3 x$ の積分を用意してから、$S_1,S_2$ を扱う。

解法1

まず

$$ \begin{aligned} \int \cos^3 x,dx &= \int \cos x(1-\sin^2 x),dx \\ \sin x-\frac{1}{3}\sin^3 x \end{aligned} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^3 x,dx &= 1-\frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \end{aligned} $$

である。

また、

$$ \begin{aligned} F(\alpha)=\int_0^\alpha \cos^3 x,dx &= \sin\alpha-\frac{1}{3}\sin^3\alpha \end{aligned} $$

とおく。

このとき

$$ S_1=F(\alpha)-\alpha\cos^3\alpha

$$

であり、

$$ S_2=\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\cos^3\alpha-\left\{\frac{2}{3}-F(\alpha)\right\}

$$

である。

（1）

$S_1=S_2$ とすると、

$$ \begin{aligned} F(\alpha)-\alpha\cos^3\alpha &= \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\cos^3\alpha-\left\{\frac{2}{3}-F(\alpha)\right\} \end{aligned} $$

である。両辺から $F(\alpha)$ を消去すると、

$$ \begin{aligned} -\alpha\cos^3\alpha &= \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\cos^3\alpha-\frac{2}{3} \end{aligned} $$

となる。整理して

$$ \frac{\pi}{2}\cos^3\alpha=\frac{2}{3}

$$

だから、

$$ \cos^3\alpha=\frac{4}{3\pi}

$$

である。よって

$$ \cos\alpha=\sqrt[3]{\frac{4}{3\pi}}

$$

を得る。

（2）

次に、$S_1+S_2$ の最小値を求める。

上で得た式から

$$ \begin{aligned} S_1+S_2 &= 2F(\alpha)-\frac{2}{3} + \left(\frac{\pi}{2}-2\alpha\right)\cos^3\alpha \end{aligned} $$

である。

これを $\alpha$ で微分する。$F'(\alpha)=\cos^3\alpha$ であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{dS_1}{d\alpha} &= \frac{d}{d\alpha}\left\{F(\alpha)-\alpha\cos^3\alpha\right\} \\ 3\alpha\cos^2\alpha\sin\alpha \end{aligned} $$

また、

$$ \begin{aligned} \frac{dS_2}{d\alpha} &= -3\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\cos^2\alpha\sin\alpha \end{aligned} $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} \frac{d}{d\alpha}(S_1+S_2) &= 3\cos^2\alpha\sin\alpha\left(2\alpha-\frac{\pi}{2}\right) \end{aligned} $$

となる。

$0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}$ では $\cos^2\alpha\sin\alpha>0$ であるから、符号は

$$ 2\alpha-\frac{\pi}{2}

$$

によって決まる。よって $S_1+S_2$ は

$$ 0<\alpha<\frac{\pi}{4}

$$

で減少し、

$$ \frac{\pi}{4}<\alpha<\frac{\pi}{2}

$$

で増加する。

したがって最小となるのは

$$ \alpha=\frac{\pi}{4}

$$

のときである。

このとき

$$ \begin{aligned} \cos^3\frac{\pi}{4} &= \left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^3 \\ \frac{\sqrt2}{4} \end{aligned} $$

また、

$$ \begin{aligned} F\left(\frac{\pi}{4}\right) &= \sin\frac{\pi}{4} -\frac{1}{3}\sin^3\frac{\pi}{4} &= \frac{\sqrt2}{2}-\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt2}{4} \\ \frac{5\sqrt2}{12} \end{aligned} $$

である。さらに

$$ \frac{\pi}{2}-2\cdot\frac{\pi}{4}=0

$$

だから、

$$ \begin{aligned} S_1+S_2 &= 2\cdot\frac{5\sqrt2}{12}-\frac{2}{3} \\ \frac{5\sqrt2}{6}-\frac{2}{3} \\ \frac{5\sqrt2-4}{6} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、水平線 $y=\cos^3\alpha$ が曲線 $y=\cos^3 x$ と $x=\alpha$ で交わることを正しく読み取るのが出発点である。

$S_1$ と $S_2$ は左右の面積なので、積分区間はそれぞれ $[0,\alpha]$、$[\alpha,\pi/2]$ になる。曲線が単調減少しているため、左側では曲線が上、右側では直線が上にくる。

（1） では $S_1=S_2$ とおくと、積分部分 $F(\alpha)$ が消えて、$\cos^3\alpha$ だけの条件になる。ここが計算上の簡略化のポイントである。

（2） では $S_1+S_2$ を直接微分すればよい。微分すると符号を決める部分が $2\alpha-\dfrac{\pi}{2}$ だけになるため、最小は中央の $\alpha=\dfrac{\pi}{4}$ で達成される。

答え

**(1)**

$$ \cos\alpha=\sqrt[3]{\frac{4}{3\pi}}

$$

**(2)**

$$ S_1+S_2 \text{ の最小値は } \frac{5\sqrt2-4}{6}

$$