基礎問題集
数学3 積分法「定積分・面積」の問題197 解説
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解説
方針・初手
$\log x$ を含む不定積分では、部分積分を用いるのが基本である。
ここでは $\log x$ を微分し、$x^4$ を積分する形にすると計算が簡潔になる。
解法1
求める不定積分を
$$ I=\int x^4\log x,dx
$$
とおく。ただし、$\log x$ が定義されるため $x>0$ である。
ここで部分積分
$$ \int u,dv=uv-\int v,du
$$
を用いる。
$$ u=\log x,\qquad dv=x^4,dx
$$
とおけば、
$$ du=\frac{1}{x},dx,\qquad v=\frac{x^5}{5}
$$
である。したがって、
$$ \begin{aligned} I &=\frac{x^5}{5}\log x-\int \frac{x^5}{5}\cdot \frac{1}{x},dx \\ &=\frac{x^5}{5}\log x-\frac{1}{5}\int x^4,dx \\ &=\frac{x^5}{5}\log x-\frac{1}{5}\cdot \frac{x^5}{5}+C \\ &=\frac{x^5}{5}\log x-\frac{x^5}{25}+C \end{aligned}
$$
となる。
解説
$x^n\log x$ 型の不定積分では、$\log x$ を微分すると $\frac{1}{x}$ になり、次数が下がって積分しやすくなる。このため、部分積分では $\log x$ を $u$ に取るのが定石である。
答え
$$ \int x^4\log x,dx=\frac{x^5}{5}\log x-\frac{x^5}{25}+C
$$
したがって、空欄には
$$ \frac{x^5}{5}\log x-\frac{x^5}{25}+C
$$
が入る。