解説

方針・初手

交点は2曲線の方程式を連立して求める。面積は、交点のうち実際に閉じた領域を作る区間を確認してから、上側の曲線と下側の曲線の差を積分する。

解法1

2曲線を

$$ C_1:\ y=\frac{x-3}{x-4},\qquad C_2:\ y=\frac14(x-1)(x-3)

$$

とする。ただし $C_1$ は $x=4$ で定義されない。

交点を求めるために

$$ \frac{x-3}{x-4}=\frac14(x-1)(x-3)

$$

を解く。両辺に $4(x-4)$ をかけると、$x\neq 4$ のもとで

$$ 4(x-3)=(x-1)(x-3)(x-4)

$$

となる。よって

$$ (x-3){4-(x-1)(x-4)}=0

$$

である。

したがって

$$ x=3

$$

または

$$ (x-1)(x-4)=4

$$

である。後者は

$$ x^2-5x+4=4

$$

より

$$ x(x-5)=0

$$

となるから、

$$ x=0,\ 5

$$

を得る。

それぞれの $y$ 座標を求めると、

$$ x=0\ のとき\ y=\frac{-3}{-4}=\frac34

$$

$$ x=3\ のとき\ y=0

$$

$$ x=5\ のとき\ y=\frac{2}{1}=2

$$

である。よって交点は

$$ \left(0,\frac34\right),\ (3,0),\ (5,2)

$$

である。

次に概形を確認する。$C_1$ は

$$ y=\frac{x-3}{x-4}=1+\frac{1}{x-4}

$$

と変形できるので、漸近線は

$$ x=4,\qquad y=1

$$

である。また $C_1$ は $(3,0)$、$\left(0,\frac34\right)$ を通る。

一方、$C_2$ は上に開く放物線であり、

$$ y=\frac14(x-1)(x-3)

$$

だから、$x$ 軸との交点は

$$ (1,0),\ (3,0)

$$

である。軸は $x=2$ で、頂点は

$$ \left(2,-\frac14\right)

$$

である。

2曲線の上下関係を調べるために差を計算する。

$$ \begin{aligned} \frac{x-3}{x-4}-\frac14(x-1)(x-3) &=\frac{4(x-3)-(x-1)(x-3)(x-4)}{4(x-4)}\\ &=\frac{(x-3){4-(x-1)(x-4)}}{4(x-4)}\\ &=\frac{x(5-x)(x-3)}{4(x-4)} \end{aligned}

$$

閉じた領域を作るのは、交点 $x=0$ と $x=3$ に挟まれた部分である。実際、$0<x<3$ では

$$ \frac{x(5-x)(x-3)}{4(x-4)}>0

$$

となるから、この区間では $C_1$ が $C_2$ より上にある。

なお、$x=3$ と $x=5$ の間には $C_1$ の漸近線 $x=4$ があるため、この部分は有限な閉領域を作らない。

したがって求める面積 $S$ は

$$ S=\int_0^3\left\{\frac{x-3}{x-4}-\frac14(x-1)(x-3)\right\},dx

$$

である。

ここで

$$ \frac{x-3}{x-4}=1+\frac{1}{x-4}

$$

また

$$ \frac14(x-1)(x-3)=\frac14(x^2-4x+3)

$$

だから、

$$ \begin{aligned} \frac{x-3}{x-4}-\frac14(x-1)(x-3) &=1+\frac{1}{x-4}-\left(\frac14x^2-x+\frac34\right)\\ &=-\frac14x^2+x+\frac14+\frac{1}{x-4} \end{aligned}

$$

である。よって

$$ \begin{aligned} S &=\int_0^3\left(-\frac14x^2+x+\frac14+\frac{1}{x-4}\right),dx\\ &=\left[-\frac{x^3}{12}+\frac{x^2}{2}+\frac{x}{4}+\log|x-4|\right]_0^3\\ &=\left(-\frac{27}{12}+\frac92+\frac34+\log1\right)-\log4\\ &=3-\log4 \end{aligned}

$$

したがって、求める面積は

$$ 3-\log4

$$

である。

解説

この問題では、交点をすべて求めたあと、どの交点どうしが実際に閉じた領域を作るかを確認することが重要である。

交点は $x=0,3,5$ の3つあるが、$C_1$ は $x=4$ を漸近線にもつため、$x=3$ から $x=5$ の間には有限な面積の閉領域はできない。したがって、面積計算に使う区間は $0\leqq x\leqq 3$ である。

また、面積積分では上下関係を必ず確認する必要がある。この問題では $0<x<3$ で $C_1>C_2$ なので、

$$ \int_0^3(C_1-C_2),dx

$$

とすればよい。

答え

**(1)**

交点は

$$ \left(0,\frac34\right),\ (3,0),\ (5,2)

$$

**(2)**

$C_1$ は漸近線 $x=4,\ y=1$ をもつ曲線、$C_2$ は頂点 $\left(2,-\frac14\right)$、零点 $(1,0),(3,0)$ をもつ上に開く放物線である。有限な閉領域は $0\leqq x\leqq 3$ にできる。

面積は

$$ 3-\log4

$$