解説

方針・初手

まず与式の両辺を $x \to +0$ として $b$ を求め，次に両辺を $x$ で微分して $a$ を求める。

その後，

$$ g(t)=t^2-1+\cos t

$$

を用いて，微分後の式を

$$ g(f(x))=x

$$

の形に直す。ここで $g$ が $t \geqq 0$ で単調増加であることを使う。

解法1

与式は $x>0$ で

$$ \int_0^x {f(t)}^2,dt+\int_0^x \cos(f(t)),dt =\frac{1}{2}x^2+ax+b

$$

である。

$f$ は連続であるから，左辺は $x\to +0$ のとき $0$ に近づく。したがって右辺の極限も $0$ でなければならないので，

$$ b=0

$$

である。

次に，両辺を $x$ で微分する。積分区間の上端が $x$ であり，被積分関数は連続なので，微分して

$$ {f(x)}^2+\cos(f(x))=x+a

$$

を得る。

ここで $x\to +0$ とすると，$f(0)=0$ かつ $f$ は連続であるから

$$ {f(x)}^2+\cos(f(x))\to 0^2+\cos 0=1

$$

である。一方，右辺は $a$ に近づく。よって

$$ a=1

$$

である。

したがって

$$ {f(x)}^2+\cos(f(x))=x+1

$$

すなわち

$$ {f(x)}^2-1+\cos(f(x))=x

$$

が成り立つ。

次に

$$ g(t)=t^2-1+\cos t

$$

とおく。このとき

$$ g'(t)=2t-\sin t

$$

である。

$t\geqq 0$ では $\sin t\leqq t$ が成り立つから，

$$ g'(t)=2t-\sin t\geqq 2t-t=t\geqq 0

$$

である。さらに $t>0$ なら

$$ g'(t)\geqq t>0

$$

であるから，$g(t)$ は $t\geqq 0$ で狭義単調増加である。

また，

$$ g(0)=0^2-1+\cos 0=0

$$

であり，

$$ \lim_{t\to\infty}g(t)=\infty

$$

である。よって任意の正の実数 $x$ に対して，方程式

$$ y^2-1+\cos y=x

$$

を満たす正の実数 $y$ がただ $1$ つ存在する。

特に $x=4\pi^2$ のとき，

$$ g(2\pi)=(2\pi)^2-1+\cos 2\pi=4\pi^2

$$

であるから，求める正の実数 $y$ は

$$ y=2\pi

$$

である。

最後に

$$ \int_0^{4\pi^2} f(x),dx

$$

について考える。

上で得た式より

$$ g(f(x))=x

$$

である。また $g(t)$ は偶関数であるから，$x>0$ に対して

$$ |f(x)|=y

$$

となる。ただし $y$ は

$$ g(y)=x,\qquad y>0

$$

を満たすただ $1$ つの正の実数である。

ここで $x>0$ では $f(x)\neq 0$ である。もし $f(x)=0$ なら

$$ g(f(x))=g(0)=0

$$

となり，$x>0$ に反する。

したがって $f(x)$ は区間 $x>0$ で符号を変えることができない。よって，ある $\varepsilon=\pm 1$ を用いて

$$ f(x)=\varepsilon y

$$

と表せる。

正の解 $y$ を用いて $x=g(y)$ とおくと，

$$ x=y^2-1+\cos y

$$

であり，

$$ dx=(2y-\sin y),dy

$$

である。

$x=0$ のとき $y=0$，$x=4\pi^2$ のとき $y=2\pi$ であるから，

$$ \begin{aligned} \int_0^{4\pi^2} y,dx &= \int_0^{2\pi} y(2y-\sin y),dy \end{aligned} $$

である。これを計算すると，

$$ \begin{aligned} \int_0^{2\pi} y(2y-\sin y),dy &=\int_0^{2\pi} 2y^2,dy-\int_0^{2\pi} y\sin y,dy \\ &=\left[\frac{2}{3}y^3\right]_0^{2\pi} -\left[-y\cos y+\sin y\right]_0^{2\pi} \\ &=\frac{16}{3}\pi^3-(-2\pi) \\ &=\frac{16}{3}\pi^3+2\pi \end{aligned}

$$

となる。

したがって

$$ \begin{aligned} \int_0^{4\pi^2} f(x),dx &= \varepsilon\left(\frac{16}{3}\pi^3+2\pi\right) \qquad (\varepsilon=\pm 1) \end{aligned} $$

である。

なお，問題文の条件だけでは $f(x)>0$ か $f(x)<0$ かを決められない。実際，正の解を $y(x)$ とすると，$f(x)=y(x)$ も $f(x)=-y(x)$ も同じ積分方程式を満たす。したがって，追加条件なしでは積分値は一意に定まらない。

解説

この問題の中心は，積分方程式を微分して

$$ f(x)^2-1+\cos(f(x))=x

$$

の形に落とすことである。

その後は

$$ g(t)=t^2-1+\cos t

$$

の単調性を調べれば，$f(x)$ の絶対値が $x$ によって一意に決まることが分かる。

ただし，$g(t)$ は偶関数であるため，$f(x)$ の符号までは決まらない。この点を見落とすと，(4) で本来一意に決まらない値を一つに断定してしまう。問題文に $f(x)>0$ などの追加条件がない限り，(4) の値は正負の $2$ 通りである。

答え

**(1)**

$$ a=1,\qquad b=0

$$

**(2)**

$$ g'(t)=2t-\sin t

$$

であり，$t\geqq 0$ では $\sin t\leqq t$ より

$$ g'(t)\geqq t\geqq 0

$$

である。したがって $g(t)=t^2-1+\cos t$ は $t\geqq 0$ で増加する。

**(3)**

正の実数 $x$ に対して，方程式

$$ y^2-1+\cos y=x

$$

を満たす正の実数 $y$ はただ $1$ つ存在する。

また，$x=4\pi^2$ のとき

$$ y=2\pi

$$

である。

**(4)**

問題文の条件だけでは一意に定まらない。

$$ \begin{aligned} \int_0^{4\pi^2} f(x),dx &= \pm\left(\frac{16}{3}\pi^3+2\pi\right) \end{aligned} $$

である。追加条件として $f(x)>0\ (x>0)$ があるなら，

$$ \begin{aligned} \int_0^{4\pi^2} f(x),dx &= \frac{16}{3}\pi^3+2\pi \end{aligned} $$

である。