基礎問題集
数学3 積分法「定積分・面積」の問題203 解説
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解説
方針・初手
$\log x$ を含む積分であるから、部分積分を用いるのが自然である。
ただし、$\int x^m,dx$ の形で $m=-1$ のときだけ事情が変わるので、**$m\neq -1$** と **$m=-1$** を分けて処理する。なお、$\log x$ が定義されるため $x>0$ で考える。
解法1
**(i)**
$m\neq -1$ のとき
$$ I=\int x^m\log x,dx
$$
に対して、
$$ u=\log x,\quad dv=x^m,dx
$$
とおくと、
$$ du=\frac{1}{x},dx,\quad v=\frac{x^{m+1}}{m+1}
$$
である。よって部分積分より、
$$ I=\frac{x^{m+1}}{m+1}\log x-\int \frac{x^{m+1}}{m+1}\cdot \frac{1}{x},dx
$$
したがって、
$$ I=\frac{x^{m+1}}{m+1}\log x-\frac{1}{m+1}\int x^m,dx
$$
ここで $m\neq -1$ なので、
$$ \int x^m,dx=\frac{x^{m+1}}{m+1}
$$
であるから、
$$ I=\frac{x^{m+1}}{m+1}\log x-\frac{x^{m+1}}{(m+1)^2}
$$
となる。
**(ii)**
$m=-1$ のとき
このとき
$$ I=\int \frac{\log x}{x},dx
$$
である。ここで
$$ t=\log x
$$
とおけば、
$$ dt=\frac{1}{x},dx
$$
であるから、
$$ I=\int t,dt=\frac{1}{2}t^2
$$
よって
$$ I=\frac{1}{2}(\log x)^2
$$
となる。
解説
この問題の要点は、$\log x$ を微分すると $\dfrac{1}{x}$ となり、$x^m$ と組み合わせると再びべき関数の積分に戻ることである。
ただし、$m=-1$ のときは $\int x^m,dx$ の公式 $\dfrac{x^{m+1}}{m+1}$ が使えないため、別に扱う必要がある。この例外処理を落とさないことが重要である。
答え
$$ \begin{aligned} m\neq -1\ のとき,\quad \int x^m\log x,dx &= \frac{x^{m+1}}{m+1}\log x-\frac{x^{m+1}}{(m+1)^2} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} m=-1\ のとき,\quad \int x^{-1}\log x,dx &= \frac{1}{2}(\log x)^2 \end{aligned} $$