解説

方針・初手

点Pの位置は、動く円 $C_1$ の中心 $A$ の位置と、半径ベクトル $\overrightarrow{AP}$ の向きが分かれば求まる。

動径 $OA$ が $x$ 軸の正の向きから角 $\theta$ だけ回転したとき、$A$ は半径 $2$ の円上を動くので、その座標はすぐに書ける。あとは「すべらない」という条件から、円 $C_1$ の回転角を求めれば、$\overrightarrow{AP}$ の向きが決まる。

その後は、得られた媒介変数表示を微分して増減を調べ、面積は媒介変数表示された閉曲線の公式

$$ S=\frac12\int_0^{2\pi}\left(x(\theta)y'(\theta)-y(\theta)x'(\theta)\right),d\theta

$$

を用いて求める。

解法1

**(1)**

時刻 $\theta$ における $C_1$ の中心を $A$、$C_0$ と $C_1$ の接点を $B$ とする。

動径 $OA$ が角 $\theta$ だけ回転しているから、

$$ A=(2\cos\theta,\ 2\sin\theta)

$$

である。

また、接点 $B$ は円 $C_0$ 上で $OA$ の途中にあるので、

$$ B=(\cos\theta,\ \sin\theta)

$$

である。

初めに $P$ は $(1,0)$ にあり、これはちょうど両円の接点である。したがって、円 $C_0$ 上で初期接点から $B$ までの弧の長さは、半径が $1$ で中心角が $\theta$ だから $\theta$ である。

円 $C_1$ はすべらずに回転するので、円 $C_1$ 上でも初期接点から現在の接点 $B$ までの弧の長さは同じく $\theta$ である。半径は $1$ だから、中心角 $\angle PAB$ は

$$ \angle PAB=\theta

$$

となる。

一方、$\overrightarrow{AB}$ は $\overrightarrow{AO}$ と同方向であり、$\overrightarrow{AO}$ の偏角は $\theta+\pi$ である。よって、$\overrightarrow{AB}$ の偏角も $\theta+\pi$ である。

したがって、$\overrightarrow{AP}$ の偏角は

$$ (\theta+\pi)+\theta=\pi+2\theta

$$

である。ゆえに、

$$ \overrightarrow{AP}=(\cos(\pi+2\theta),\ \sin(\pi+2\theta)) =(-\cos2\theta,\ -\sin2\theta)

$$

となる。

したがって、点 $P$ の座標は

$$ \begin{aligned} x(\theta) &=2\cos\theta-\cos2\theta,\\ y(\theta) &=2\sin\theta-\sin2\theta \end{aligned}

$$

である。

これで示された。

**(2)**

（1） より

$$ x(\theta)=2\cos\theta-\cos2\theta

$$

であるから、これを微分すると

$$ \frac{d}{d\theta}x(\theta) =-2\sin\theta+2\sin2\theta

$$

となる。さらに $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ を用いると、

$$ \frac{d}{d\theta}x(\theta) =2\sin\theta(2\cos\theta-1)

$$

である。

したがって、

$$ \frac{d}{d\theta}x(\theta)=0

$$

となるのは

$$ \sin\theta=0 \quad\text{または}\quad 2\cos\theta-1=0

$$

より、

$$ \theta=0,\ \frac{\pi}{3},\ \pi,\ \frac{5\pi}{3},\ 2\pi

$$

である。

各区間で符号を調べると、

• $0<\theta<\frac{\pi}{3}$ では $\sin\theta>0,\ 2\cos\theta-1>0$ より $x'(\theta)>0$
• $\frac{\pi}{3}<\theta<\pi$ では $\sin\theta>0,\ 2\cos\theta-1<0$ より $x'(\theta)<0$
• $\pi<\theta<\frac{5\pi}{3}$ では $\sin\theta<0,\ 2\cos\theta-1<0$ より $x'(\theta)>0$
• $\frac{5\pi}{3}<\theta<2\pi$ では $\sin\theta<0,\ 2\cos\theta-1>0$ より $x'(\theta)<0$

となる。

また、要所での値は

$$ \begin{aligned} x(0)&=2\cdot1-1=1,\\ x\left(\frac{\pi}{3}\right)&=2\cdot\frac12-\cos\frac{2\pi}{3} =1-\left(-\frac12\right)=\frac32,\\ x(\pi)&=2(-1)-1=-3,\\ x\left(\frac{5\pi}{3}\right)&=2\cdot\frac12-\cos\frac{10\pi}{3} =1-\cos\frac{4\pi}{3} =1-\left(-\frac12\right)=\frac32,\\ x(2\pi)&=1 \end{aligned}

$$

である。

したがって、増減表は次のとおりである。

| $\theta$ | $0$ | $0<\theta<\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{3}<\theta<\pi$ | $\pi$ | $\pi<\theta<\frac{5\pi}{3}$ | $\frac{5\pi}{3}$ | $\frac{5\pi}{3}<\theta<2\pi$ | $2\pi$ | | ------------ | --- | ------------------------ | --------------- | -------------------------- | ----- | --------------------------- | ---------------- | ---------------------------- | ------ | | $x'(\theta)$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | | $x(\theta)$ | $1$ | 増加 | $\frac32$ | 減少 | $-3$ | 増加 | $\frac32$ | 減少 | $1$ |

**(3)**

まず

$$ y(\theta)=2\sin\theta-\sin2\theta

$$

より、

$$ y'(\theta)=2\cos\theta-2\cos2\theta

$$

である。

$\theta$ が $0$ から $2\pi$ まで動くとき、曲線 $C$ はちょうど1回描かれるから、その囲む面積 $S$ は

$$ S=\frac12\int_0^{2\pi}\left(x(\theta)y'(\theta)-y(\theta)x'(\theta)\right),d\theta

$$

で与えられる。

ここで

$$ \begin{aligned} x(\theta)y'(\theta)-y(\theta)x'(\theta) &=(2\cos\theta-\cos2\theta)(2\cos\theta-2\cos2\theta)\\ &\qquad -(2\sin\theta-\sin2\theta)(-2\sin\theta+2\sin2\theta)\\ &=(2\cos\theta-\cos2\theta)(2\cos\theta-2\cos2\theta)\\ &\qquad +(2\sin\theta-\sin2\theta)(2\sin\theta-2\sin2\theta)\\ &=4(\cos^2\theta+\sin^2\theta) -6(\cos\theta\cos2\theta+\sin\theta\sin2\theta)\\ &\qquad +2(\cos^22\theta+\sin^22\theta)\\ &=4-6\cos(\theta-2\theta)+2\\ &=6-6\cos\theta \end{aligned}

$$

となる。

したがって、

$$ \begin{aligned} S &=\frac12\int_0^{2\pi}(6-6\cos\theta),d\theta\\ &=3\int_0^{2\pi}(1-\cos\theta),d\theta\\ &=3\left[\theta-\sin\theta\right]_0^{2\pi}\\ &=3\cdot 2\pi\\ &=6\pi \end{aligned}

$$

である。

解説

この問題の要点は、「点 $P$ の軌跡」を直接追うのではなく、

• 中心 $A$ の運動
• 円 $C_1$ 自身の回転

の2つに分けて考えることである。

特に （1） では、すべらない条件から「固定円上で進んだ弧の長さ」と「動く円上で回転に対応する弧の長さ」が等しいことを使うのが核心である。これによって、$\angle PAB=\theta$ が分かり、媒介変数表示が自然に得られる。

（2） は、得られた媒介変数表示をそのまま微分すればよい。$x'(\theta)$ を

$$ 2\sin\theta(2\cos\theta-1)

$$

と因数分解して符号を調べるのが最も見通しがよい。

（3） は、媒介変数表示された閉曲線の面積公式を使うのが標準的である。式はやや長いが、三角恒等式を丁寧に使えば整理できる。

答え

**(1)**

$$ x(\theta)=2\cos\theta-\cos2\theta,\qquad y(\theta)=2\sin\theta-\sin2\theta

$$

**(2)**

$$ \frac{d}{d\theta}x(\theta)=2\sin\theta(2\cos\theta-1)

$$

増減は

$0<\theta<\frac{\pi}{3}$ で増加

$\frac{\pi}{3}<\theta<\pi$ で減少

$\pi<\theta<\frac{5\pi}{3}$ で増加

$\frac{5\pi}{3}<\theta<2\pi$ で減少

であり、

$$ x(0)=1,\quad x\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac32,\quad x(\pi)=-3,\quad x\left(\frac{5\pi}{3}\right)=\frac32,\quad x(2\pi)=1

$$

である。

**(3)**

$$ S=6\pi

$$