解説

方針・初手

積分

$$ I=\int_0^\pi (\cos ax)(\cos bx)(\cos cx),dx

$$

が正になる条件を、三角関数の積和公式で判定する。

$\int_0^\pi \cos(nx),dx$ は $n=0$ のときだけ正になり、それ以外の整数 $n$ では $0$ になるので、積和公式で現れる角の係数が $0$ になる場合だけを数えればよい。

解法1

積和公式より、

$$ \begin{aligned} \cos ax\cos bx\cos cx &= \frac14\left\{ \cos((a+b+c)x)+\cos((a+b-c)x)+\cos((a-b+c)x)+\cos((a-b-c)x) \right\} \end{aligned} $$

である。

したがって

$$ I =

\frac14\int_0^\pi \left\{ \cos((a+b+c)x)+\cos((a+b-c)x)+\cos((a-b+c)x)+\cos((a-b-c)x) \right\}dx

$$

となる。

ここで、整数 $n$ に対して

$$ \int_0^\pi \cos(nx),dx = \begin{cases} \pi & (n=0),\\ 0 & (n\neq 0) \end{cases} $$

である。

よって $I>0$ となるのは、上の4つの係数のうちどれかが $0$ となるときに限る。

ただし

$$ a+b+c=0

$$

は $a,b,c\geqq 1$ だから不可能である。

したがって必要十分条件は

$$ a+b-c=0,\quad a-b+c=0,\quad a-b-c=0

$$

のいずれか、すなわち

$$ c=a+b,\quad b=a+c,\quad a=b+c

$$

のいずれかである。

つまり、$a,b,c$ のうち1つが他の2つの和になっているとき、かつそのときに限って $I>0$ である。

以下、これを満たす順序つき組 $(a,b,c)$ の個数を数える。

**(i)**

$c=a+b$ の場合

$a,b$ は $1$ 以上 $6$ 以下の整数で、さらに $c\leqq 6$ より

$$ a+b\leqq 6

$$

である。

和 $a+b=s$ を $2,3,4,5,6$ とすると、各 $s$ に対する $(a,b)$ の個数は $s-1$ 個であるから、

$$ 1+2+3+4+5=15

$$

個である。

**(ii)**

$b=a+c$ の場合

同様に $15$ 個である。

**(iii)**

$a=b+c$ の場合

同様に $15$ 個である。

これら3つの場合は、$a,b,c$ が正の整数である以上、同時には起こらない。したがって求める個数は

$$ 15+15+15=45

$$

個である。

全事象は

$$ 6^3=216

$$

通りであるから、求める確率は

$$ \frac{45}{216}=\frac{5}{24}

$$

である。

解説

この問題の本質は、三角関数の積を和に直したあと、$\int_0^\pi \cos(nx),dx$ が $n=0$ のときしか寄与しないことにある。

したがって積分そのものを直接計算する必要はなく、「どの組 $(a,b,c)$ で係数が $0$ になるか」を整数条件として読み替えるのが最短である。結局、「3つのうち1つが他の2つの和になっているか」を数える問題になる。

答え

$$ \frac{5}{24}

$$