解説

方針・初手

（1） は三角関数のべき積分の漸化式であり，部分積分で直ちに示せる。

（2） は微分積分学の基本定理を用いて $f'(x)$ を直接求め，$x=\dfrac{\pi}{2}$ を代入すればよい。

（3） では （2） により $a=\dfrac{\pi}{2}$ が分かるが，この条件だけでは $n$ は定まらない。したがって，各自然数 $n$ に対する

$$ f\left(\frac{\pi}{2}\right)

$$

を表す式を求める。

解法1

**(1)**

$$ I_m=\int_0^{\pi/2}\sin^m\theta,d\theta

$$

とおく。

すると

$$ \begin{aligned} I_{n+1} &=\int_0^{\pi/2}\sin^n\theta\sin\theta,d\theta \\ &=\left[-\sin^n\theta\cos\theta\right]*0^{\pi/2} +n\int_0^{\pi/2}\sin^{n-1}\theta\cos^2\theta,d\theta \\ &=n\int_0^{\pi/2}\sin^{n-1}\theta(1-\sin^2\theta),d\theta \\ &=nI*{n-1}-nI_{n+1}. \end{aligned}

$$

したがって

$$ (n+1)I_{n+1}=nI_{n-1}

$$

であるから，

$$ \begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\sin^{n+1}\theta,d\theta &= \frac{n}{n+1}\int_0^{\pi/2}\sin^{n-1}\theta,d\theta \end{aligned} $$

が示された。

**(2)**

微分積分学の基本定理より

$$ f'(x)=(a-x)\left(a\sin^{n+1}x-\sin^{n-1}x\right)

$$

である。

よって

$$ \begin{aligned} f'\left(\frac{\pi}{2}\right) &= \left(a-\frac{\pi}{2}\right)\left(a\cdot 1-1\right) \\ \left(a-\frac{\pi}{2}\right)(a-1). \end{aligned} $$

ここで $a>\dfrac{3}{2}$ であるから $a-1>0$ であり，$a-1=0$ は不可能である。したがって

$$ f'\left(\frac{\pi}{2}\right)=0

$$

を満たすのは

$$ a=\frac{\pi}{2}

$$

のときに限る。

この条件には $n$ が現れないので，$n$ は任意の自然数である。

**(3)**

以後

$$ a=\frac{\pi}{2}

$$

とする。

まず

$$ A_m=\int_0^{\pi/2}\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\sin^m\theta,d\theta

$$

とおくと，

$$ f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}A_{n+1}-A_{n-1}

$$

である。

そこで $A_m$ の漸化式を求める。$m\ge 2$ として部分積分を行うと，

$$ \begin{aligned} A_m &=\int_0^{\pi/2}\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\sin^{m-1}\theta\sin\theta,d\theta \\ &=\left[-\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\sin^{m-1}\theta\cos\theta\right]*0^{\pi/2} -\int_0^{\pi/2}\left\{-\sin^{m-1}\theta+(m-1)\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\sin^{m-2}\theta\cos\theta\right\}\cos\theta,d\theta \\ &=-\int_0^{\pi/2}\sin^{m-1}\theta\cos\theta,d\theta +(m-1)\int_0^{\pi/2}\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\sin^{m-2}\theta\cos^2\theta,d\theta \\ &=-\frac{1}{m}+(m-1)A*{m-2}-(m-1)A_m. \end{aligned}

$$

したがって

$$ mA_m=(m-1)A_{m-2}-\frac{1}{m}

$$

すなわち

$$ A_m=\frac{m-1}{m}A_{m-2}-\frac{1}{m^2} \qquad (m\ge 2)

$$

を得る。

初期値は

$$ A_0=\int_0^{\pi/2}\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right),d\theta=\frac{\pi^2}{8},

$$

$$ A_1=\int_0^{\pi/2}\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\sin\theta,d\theta=\frac{\pi}{2}-1

$$

である。

ここで $m=n+1$ とすると

$$ A_{n+1}=\frac{n}{n+1}A_{n-1}-\frac{1}{(n+1)^2}

$$

であるから，

$$ \begin{aligned} f\left(\frac{\pi}{2}\right) &=\frac{\pi}{2}A_{n+1}-A_{n-1} \\ &=\frac{\pi}{2}\left(\frac{n}{n+1}A_{n-1}-\frac{1}{(n+1)^2}\right)-A_{n-1} \\ &=\left(\frac{\pi n}{2(n+1)}-1\right)A_{n-1}-\frac{\pi}{2(n+1)^2}. \end{aligned}

$$

したがって

$$ A_0=\frac{\pi^2}{8},\qquad A_1=\frac{\pi}{2}-1,\qquad A_m=\frac{m-1}{m}A_{m-2}-\frac{1}{m^2}

$$

を用いれば，各自然数 $n$ に対する

$$ f\left(\frac{\pi}{2}\right)

$$

が定まる。

解説

（1） は典型的なべき積分の漸化式であり，$\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$ に持ち込むのが要点である。

（2） では被積分関数をそのまま代入してよく，条件 $a>\dfrac{3}{2}$ が効くことで $a=1$ が排除される。その結果，$a=\dfrac{\pi}{2}$ のみが残る。

重要なのは，この条件からは **$n$ は決まらない** ことである。したがって （3） では，$n$ を任意の自然数として扱い，補助積分

$$ A_m=\int_0^{\pi/2}\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\sin^m\theta,d\theta

$$

の漸化式を立てるのが自然である。

答え

**(1)**

$$ \begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\sin^{n+1}\theta,d\theta &= \frac{n}{n+1}\int_0^{\pi/2}\sin^{n-1}\theta,d\theta \end{aligned} $$

**(2)**

$$ a=\frac{\pi}{2},\qquad n は任意の自然数

$$

**(3)**

$$ A_m=\int_0^{\pi/2}\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\sin^m\theta,d\theta

$$

とおくと

$$ A_0=\frac{\pi^2}{8},\qquad A_1=\frac{\pi}{2}-1,

$$

$$ A_m=\frac{m-1}{m}A_{m-2}-\frac{1}{m^2}\qquad (m\ge 2),

$$

かつ

$$ \begin{aligned} f\left(\frac{\pi}{2}\right) &= \left(\frac{\pi n}{2(n+1)}-1\right)A_{n-1} -\frac{\pi}{2(n+1)^2} \end{aligned} $$

である。