解説

方針・初手

$0<a<\dfrac{\pi}{2}$ より，$0\leq \alpha \leq a$ において $\sin \alpha$ は単調増加する。

したがって，$0<t<a$ のとき，$\alpha=t$ を境に

$$ \sin\alpha-\sin t

$$

の符号が変わる。よって絶対値を外すために，積分区間を $[0,t]$ と $[t,a]$ に分ける。

解法1

$0<t<a$ とする。$0\leq \alpha<t$ では $\sin\alpha<\sin t$，$t<\alpha\leq a$ では $\sin\alpha>\sin t$ であるから，

$$ f(t)=\int_0^t(\sin t-\sin\alpha),d\alpha+\int_t^a(\sin\alpha-\sin t),d\alpha

$$

である。

それぞれ計算すると，

$$ \int_0^t(\sin t-\sin\alpha),d\alpha =t\sin t-\int_0^t\sin\alpha,d\alpha =t\sin t-(1-\cos t)

$$

であり，

$$ \int_t^a(\sin\alpha-\sin t),d\alpha =\int_t^a\sin\alpha,d\alpha-(a-t)\sin t =(\cos t-\cos a)-(a-t)\sin t

$$

である。

したがって，

$$ \begin{aligned} f(t) &=t\sin t-(1-\cos t)+(\cos t-\cos a)-(a-t)\sin t\\ &=(2t-a)\sin t+2\cos t-1-\cos a \end{aligned}

$$

となる。

次に，$0<t<a$ における最小値を求める。上の式を微分すると，

$$ \begin{aligned} f'(t) &=2\sin t+(2t-a)\cos t-2\sin t\\ &=(2t-a)\cos t \end{aligned}

$$

である。

ここで $0<t<a<\dfrac{\pi}{2}$ より $\cos t>0$ である。したがって，$f'(t)$ の符号は $2t-a$ の符号と一致する。

よって，

$$ \begin{cases} f'(t)<0 & \left(0<t<\dfrac a2\right),\\ f'(t)=0 & \left(t=\dfrac a2\right),\\ f'(t)>0 & \left(\dfrac a2<t<a\right) \end{cases}

$$

であるから，$f(t)$ は $t=\dfrac a2$ で最小値をとる。

ゆえに，

$$ g(a)=f\left(\frac a2\right)

$$

である。これを代入すると，

$$ \begin{aligned} g(a) &=\left(2\cdot\frac a2-a\right)\sin\frac a2+2\cos\frac a2-1-\cos a\\ &=2\cos\frac a2-1-\cos a \end{aligned}

$$

となる。

最後に，

$$ \begin{aligned} \lim_{a\to +0}\frac{g(a)}{a^2} &= \lim_{a\to +0}\frac{2\cos\frac a2-1-\cos a}{a^2} \end{aligned} $$

を求める。

$a\to 0$ のとき，

$$ \cos\frac a2=1-\frac{a^2}{8}+O(a^4)

$$

また，

$$ \cos a=1-\frac{a^2}{2}+O(a^4)

$$

であるから，

$$ \begin{aligned} g(a) &=2\left(1-\frac{a^2}{8}+O(a^4)\right)-1-\left(1-\frac{a^2}{2}+O(a^4)\right)\\ &=\frac{a^2}{4}+O(a^4) \end{aligned}

$$

である。

したがって，

$$ \lim_{a\to +0}\frac{g(a)}{a^2} =\frac14

$$

である。

解説

この問題の核心は，$\sin\alpha$ が $[0,a]$ で単調増加することを使い，絶対値の中身の符号を $\alpha=t$ で分ける点である。

$f(t)$ を求めた後は，$t$ について微分すればよい。微分すると余分な項が打ち消され，

$$ f'(t)=(2t-a)\cos t

$$

という単純な形になる。$0<t<a<\dfrac{\pi}{2}$ なので $\cos t>0$ であり，最小値を与える点は $t=\dfrac a2$ と分かる。

最後の極限は，三角関数の標準的な展開を用いればよい。

答え

**(1)**

$$ f(t)=(2t-a)\sin t+2\cos t-1-\cos a \qquad (0<t<a)

$$

**(2)**

$$ g(a)=2\cos\frac a2-1-\cos a

$$

**(3)**

$$ \lim_{a\to +0}\frac{g(a)}{a^2}=\frac14

$$