解説

注意

問題文には $x$ の範囲が示されていない。このまま $x$ を実数全体と解釈すると、(3) の $F''(x)\geqq 0$ は成り立たない。

以下では、まず画像通りに計算し、そのうえで $0\leqq x\leqq \pi$ の範囲なら $F''(x)\geqq 0$ が成り立つことを示す。

方針・初手

(1) の積分を先に求めると、(2) の微分でその結果をそのまま使える。

(2) では積分区間の上端と integrand の両方に $x$ が含まれているので、積分の上端による項と integrand の $x$ 微分による項を分けて考える。

解法1

まず、

$$ \sin^3 t=\sin t(1-\cos^2 t)

$$

と変形する。よって、

$$ \begin{aligned} \int_0^x \sin^3 t,dt &=\int_0^x \sin t(1-\cos^2 t),dt \\ &=\left[-\cos t+\frac{1}{3}\cos^3 t\right]_0^x \\ &=-\cos x+\frac{1}{3}\cos^3 x+\frac{2}{3}. \end{aligned}

$$

したがって、

$$ \begin{aligned} \int_0^x \sin^3 t,dt &= \frac{2}{3}-\cos x+\frac{1}{3}\cos^3 x \end{aligned} $$

である。

次に、

$$ F(x)=\int_0^x \left(e^{3x}-e^{3t}\right)\sin^3 t,dt

$$

を微分する。被積分関数を

$$ g(x,t)=\left(e^{3x}-e^{3t}\right)\sin^3 t

$$

とおくと、

$$ g(x,x)=\left(e^{3x}-e^{3x}\right)\sin^3 x=0

$$

であり、また

$$ \frac{\partial}{\partial x}g(x,t)=3e^{3x}\sin^3 t

$$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} F'(x) &=g(x,x)+\int_0^x \frac{\partial}{\partial x}g(x,t),dt \\ &=0+\int_0^x 3e^{3x}\sin^3 t,dt \\ &=3e^{3x}\int_0^x \sin^3 t,dt. \end{aligned}

$$

(1) の結果を代入すると、

$$ \begin{aligned} F'(x) &=3e^{3x}\left(\frac{2}{3}-\cos x+\frac{1}{3}\cos^3 x\right) \\ &=e^{3x}\left(2-3\cos x+\cos^3 x\right). \end{aligned}

$$

さらに微分すると、

$$ \begin{aligned} F''(x) &=3e^{3x}\left(2-3\cos x+\cos^3 x\right) +e^{3x}\left(3\sin x-3\cos^2 x\sin x\right) \\ &=3e^{3x}\left(2-3\cos x+\cos^3 x\right) +3e^{3x}\sin x(1-\cos^2 x) \\ &=3e^{3x}\left(2-3\cos x+\cos^3 x+\sin^3 x\right). \end{aligned}

$$

また、

$$ \begin{aligned} 2-3\cos x+\cos^3 x &= 3\int_0^x \sin^3 t,dt \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} F''(x) &= 3e^{3x}\left(3\int_0^x \sin^3 t,dt+\sin^3 x\right) \end{aligned} $$

とも書ける。

ここで $0\leqq x\leqq \pi$ とすれば、$0\leqq t\leqq x$ において $\sin t\geqq 0$ である。したがって、

$$ \int_0^x \sin^3 t,dt\geqq 0

$$

かつ

$$ \sin^3 x\geqq 0

$$

である。また $e^{3x}>0$ より、

$$ \begin{aligned} F''(x) &= 3e^{3x}\left(3\int_0^x \sin^3 t,dt+\sin^3 x\right) \geqq 0 \end{aligned} $$

が成り立つ。

一方、$x$ を実数全体で考えると、この不等式は成り立たない。例えば $x=\dfrac{11\pi}{6}$ とすると、

$$ \cos x=\frac{\sqrt3}{2},\qquad \sin x=-\frac{1}{2}

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} 2-3\cos x+\cos^3 x+\sin^3 x &=2-\frac{3\sqrt3}{2}+\frac{3\sqrt3}{8}-\frac{1}{8} \\ &=\frac{15-9\sqrt3}{8}. \end{aligned}

$$

ここで $9\sqrt3>15$ なので、

$$ \frac{15-9\sqrt3}{8}<0

$$

である。したがって、このとき

$$ F''\left(\frac{11\pi}{6}\right)<0

$$

となる。

解説

この問題の中心は、$F(x)$ の微分で積分の上端に由来する項が消える点である。

実際、

$$ \left(e^{3x}-e^{3t}\right)\sin^3 t

$$

において $t=x$ とすると $e^{3x}-e^{3x}=0$ となるため、上端から出る項は $0$ になる。したがって、残るのは $e^{3x}$ を $x$ で微分する項だけである。

ただし、(3) は $x$ の範囲が重要である。$0\leqq x\leqq \pi$ なら $\sin t\geqq 0$ を使って自然に示せるが、問題文通りに範囲指定なしで解釈すると反例が存在する。

答え

**(1)**

$$ \begin{aligned} \int_0^x \sin^3 t,dt &= \frac{2}{3}-\cos x+\frac{1}{3}\cos^3 x \end{aligned} $$

**(2)**

$$ \begin{aligned} F'(x) &= 3e^{3x}\int_0^x \sin^3 t,dt \\ &= e^{3x}\left(2-3\cos x+\cos^3 x\right) \end{aligned} $$

**(3)**

$0\leqq x\leqq \pi$ の範囲では、

$$ \begin{aligned} F''(x) &= 3e^{3x}\left(3\int_0^x \sin^3 t,dt+\sin^3 x\right) \geqq 0 \end{aligned} $$

である。

ただし、画像の問題文通りに $x$ の範囲指定がない場合、$x=\dfrac{11\pi}{6}$ で $F''(x)<0$ となるため、$F''(x)\geqq 0$ は全実数では成り立たない。