解説

方針・初手

前半は置換積分 $x=\dfrac{\pi}{2}-t$ を用いればよい。

後半は

$$ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin 3x}{\sin x+\cos x},dx

$$

とおき，前半で示した等式をこの被積分関数に適用する。すると $I$ を別の形でも表せるので，2つを足し合わせて分子を簡単にできる。

解法1

まず，

$$ \int_0^{\frac{\pi}{2}}f(x),dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}f\left(\frac{\pi}{2}-x\right),dx

$$

を示す。

$ t=\dfrac{\pi}{2}-x $ とおくと，

$$ dx=-dt

$$

であり，$x=0$ のとき $t=\dfrac{\pi}{2}$，$x=\dfrac{\pi}{2}$ のとき $t=0$ である。よって

$$ \begin{aligned} \int_0^{\frac{\pi}{2}}f(x),dx &=\int_{\frac{\pi}{2}}^0 f\left(\frac{\pi}{2}-t\right)(-dt) \\ &=\int_0^{\frac{\pi}{2}}f\left(\frac{\pi}{2}-t\right),dt. \end{aligned}

$$

積分変数はダミー変数であるから，$t$ を $x$ と書き直して

$$ \int_0^{\frac{\pi}{2}}f(x),dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}f\left(\frac{\pi}{2}-x\right),dx

$$

が成り立つ。

次に，

$$ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin 3x}{\sin x+\cos x},dx

$$

とおく。

上で示した等式を

$$ f(x)=\frac{\sin 3x}{\sin x+\cos x}

$$

に適用すると，

$$ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin\left(3\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)},dx.

$$

ここで

$$ \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x,\qquad \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x

$$

より分母は $\sin x+\cos x$ となる。また

$$ \sin\left(\frac{3\pi}{2}-3x\right)=-\cos 3x

$$

であるから，

$$ I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{-\cos 3x}{\sin x+\cos x},dx

$$

となる。

したがって，これと元の式を足し合わせれば

$$ 2I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin 3x-\cos 3x}{\sin x+\cos x},dx

$$

である。

ここで分子を整理する。

$$ \begin{aligned} \sin 3x-\cos 3x &=(3\sin x-4\sin^3 x)-(4\cos^3 x-3\cos x) \\ &=3(\sin x+\cos x)-4(\sin^3 x+\cos^3 x). \end{aligned}

$$

さらに

$$ \sin^3 x+\cos^3 x=(\sin x+\cos x)(\sin^2 x-\sin x\cos x+\cos^2 x)

$$

であり，

$$ \sin^2 x+\cos^2 x=1

$$

より

$$ \sin^3 x+\cos^3 x=(\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x)

$$

である。よって

$$ \begin{aligned} \sin 3x-\cos 3x &=3(\sin x+\cos x)-4(\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x) \\ &=(\sin x+\cos x)(4\sin x\cos x-1). \end{aligned}

$$

これを用いると

$$ 2I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}(4\sin x\cos x-1),dx

$$

となる。ここで $2\sin x\cos x=\sin 2x$ なので，

$$ 2I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}(2\sin 2x-1),dx.

$$

よって

$$ \begin{aligned} 2I &=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin 2x,dx-\int_0^{\frac{\pi}{2}}1,dx \\ &=2\left[-\frac{1}{2}\cos 2x\right]_0^{\frac{\pi}{2}}-\left[x\right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ &=2-\frac{\pi}{2}. \end{aligned}

$$

したがって

$$ I=1-\frac{\pi}{4}

$$

である。

解説

前半の等式は，区間 $[0,\frac{\pi}{2}]$ を端点 $\frac{\pi}{4}$ について折り返す置換

$$ x\mapsto \frac{\pi}{2}-x

$$

による対称性を表している。

後半では，元の積分をその「折り返した形」で書き直すことで，$\sin 3x$ を $-\cos 3x$ に変えられる。そこで2式を足すと分子が

$$ \sin 3x-\cos 3x

$$

となり，これが $\sin x+\cos x$ を因数にもつため，分母と約されて一気に計算しやすくなる。この種の定積分では，区間が $[0,\frac{\pi}{2}]$ のときに $x\mapsto \frac{\pi}{2}-x$ を試すのが典型である。

答え

$$ \int_0^{\frac{\pi}{2}}f(x),dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}f\left(\frac{\pi}{2}-x\right),dx

$$

が成り立つ。

また，

$$ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin 3x}{\sin x+\cos x},dx =1-\frac{\pi}{4}.

$$