解説

方針・初手

積分核 $\sin(x-t)$ を加法定理で分解すると、積分部分は $\sin x$ と $\cos x$ の一次結合になる。そこで

$$ A=\int_0^\pi f(t)\cos t,dt,\qquad B=\int_0^\pi f(t)\sin t,dt

$$

とおき、$A,B$ を決定する。

解法1

加法定理より

$$ \sin(x-t)=\sin x\cos t-\cos x\sin t

$$

である。したがって

$$ \begin{aligned} \int_0^\pi f(t)\sin(x-t),dt &= \sin x\int_0^\pi f(t)\cos t,dt -\cos x\int_0^\pi f(t)\sin t,dt \end{aligned} $$

となる。

ここで

$$ A=\int_0^\pi f(t)\cos t,dt,\qquad B=\int_0^\pi f(t)\sin t,dt

$$

とおくと、与式は

$$ f(x)=x+2A\sin x-2B\cos x

$$

となる。

次に、この式を用いて $A,B$ を求める。

まず、両辺に $\cos x$ をかけて $0$ から $\pi$ まで積分する。

$$ A=\int_0^\pi x\cos x,dx +2A\int_0^\pi \sin x\cos x,dx -2B\int_0^\pi \cos^2 x,dx

$$

ここで

$$ \begin{aligned} \int_0^\pi x\cos x,dx &= \left[x\sin x+\cos x\right]_0^\pi =-2 \end{aligned} $$

また、

$$ \int_0^\pi \sin x\cos x,dx=0,\qquad \int_0^\pi \cos^2 x,dx=\frac{\pi}{2}

$$

であるから、

$$ A=-2-\pi B

$$

を得る。

次に、両辺に $\sin x$ をかけて $0$ から $\pi$ まで積分する。

$$ B=\int_0^\pi x\sin x,dx +2A\int_0^\pi \sin^2 x,dx -2B\int_0^\pi \sin x\cos x,dx

$$

ここで

$$ \begin{aligned} \int_0^\pi x\sin x,dx &= \left[-x\cos x+\sin x\right]_0^\pi =\pi \end{aligned} $$

また、

$$ \int_0^\pi \sin^2 x,dx=\frac{\pi}{2},\qquad \int_0^\pi \sin x\cos x,dx=0

$$

であるから、

$$ B=\pi+\pi A

$$

を得る。

よって $A,B$ は連立方程式

$$ \begin{cases} A=-2-\pi B,\\ B=\pi+\pi A \end{cases}

$$

を満たす。

第2式を第1式に代入すると、

$$ A=-2-\pi(\pi+\pi A)

$$

より

$$ (1+\pi^2)A=-(\pi^2+2)

$$

したがって

$$ A=-\frac{\pi^2+2}{\pi^2+1}

$$

である。さらに

$$ \begin{aligned} B=\pi+\pi A &= \pi\left(1-\frac{\pi^2+2}{\pi^2+1}\right) \\ -\frac{\pi}{\pi^2+1} \end{aligned} $$

となる。

これを

$$ f(x)=x+2A\sin x-2B\cos x

$$

に代入して、

$$ \begin{aligned} f(x) &= x-\frac{2(\pi^2+2)}{\pi^2+1}\sin x +\frac{2\pi}{\pi^2+1}\cos x \end{aligned} $$

を得る。

解説

この問題の核心は、積分方程式をそのまま解こうとせず、$\sin(x-t)$ を加法定理で分解することである。すると積分部分は、未知関数 $f(t)$ 全体ではなく、2つの定数

$$ \int_0^\pi f(t)\cos t,dt,\qquad \int_0^\pi f(t)\sin t,dt

$$

だけで表される。

そのため、未知関数そのものを求める問題が、定数 $A,B$ を求める連立一次方程式の問題に帰着される。積分核が $\sin x\cos t-\cos x\sin t$ のように変数分離できる形になっていることを見抜くのが重要である。

答え

$$ \begin{aligned} f(x) &= x-\frac{2(\pi^2+2)}{\pi^2+1}\sin x +\frac{2\pi}{\pi^2+1}\cos x \end{aligned} $$