解説

方針・初手

絶対値を外すために、$\sin t-\sin\omega$ の符号が変わる点を調べる。$0\leqq \omega\leqq \dfrac{\pi}{2}$ であるから、区間 $0\leqq t\leqq \pi$ において

$$ \sin t=\sin\omega

$$

となるのは、$\omega=0$ の場合を除けば $t=\omega,\ \pi-\omega$ である。したがって、区間を $[0,\omega]$、$[\omega,\pi-\omega]$、$[\pi-\omega,\pi]$ に分けて積分する。

解法1

まず、$\omega=0$ のときは

$$ f(0)=\int_0^\pi |\sin t|,dt

$$

である。$0\leqq t\leqq \pi$ では $\sin t\geqq 0$ だから、

$$ f(0)=\int_0^\pi \sin t,dt=\left[-\cos t\right]_0^\pi=2

$$

となる。

次に、$0<\omega\leqq \dfrac{\pi}{2}$ とする。このとき、$0\leqq t\leqq \pi$ において $\sin t=\sin\omega$ となるのは

$$ t=\omega,\quad t=\pi-\omega

$$

である。

また、$\sin t$ は $0\leqq t\leqq \dfrac{\pi}{2}$ で増加し、$\dfrac{\pi}{2}\leqq t\leqq \pi$ で減少するから、

$$ \begin{cases} 0\leqq t\leqq \omega & \text{では } \sin t\leqq \sin\omega,\\ \omega\leqq t\leqq \pi-\omega & \text{では } \sin t\geqq \sin\omega,\\ \pi-\omega\leqq t\leqq \pi & \text{では } \sin t\leqq \sin\omega \end{cases}

$$

である。よって、絶対値を外すと

$$ \begin{aligned} f(\omega) &=\int_0^\omega (\sin\omega-\sin t),dt +\int_\omega^{\pi-\omega}(\sin t-\sin\omega),dt +\int_{\pi-\omega}^{\pi}(\sin\omega-\sin t),dt \end{aligned}

$$

となる。

各部分を計算する。まず、

$$ \int_0^\omega (\sin\omega-\sin t),dt =\omega\sin\omega-\int_0^\omega \sin t,dt

$$

であり、

$$ \int_0^\omega \sin t,dt =\left[-\cos t\right]_0^\omega =1-\cos\omega

$$

だから、

$$ \int_0^\omega (\sin\omega-\sin t),dt =\omega\sin\omega-1+\cos\omega

$$

である。同様に、対称性から

$$ \int_{\pi-\omega}^{\pi}(\sin\omega-\sin t),dt =\omega\sin\omega-1+\cos\omega

$$

である。

中央部分は

$$ \begin{aligned} \int_\omega^{\pi-\omega}(\sin t-\sin\omega),dt &=\int_\omega^{\pi-\omega}\sin t,dt-(\pi-2\omega)\sin\omega\\ &=\left[-\cos t\right]_\omega^{\pi-\omega}-(\pi-2\omega)\sin\omega\\ &=2\cos\omega-(\pi-2\omega)\sin\omega \end{aligned}

$$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} f(\omega) &=2(\omega\sin\omega-1+\cos\omega) +{2\cos\omega-(\pi-2\omega)\sin\omega}\\ &=4\omega\sin\omega-\pi\sin\omega+4\cos\omega-2\\ &=(4\omega-\pi)\sin\omega+4\cos\omega-2 \end{aligned}

$$

となる。

この式は $\omega=0$ を代入しても

$$ f(0)=4-2=2

$$

となり、先に求めた値と一致する。よって、$0\leqq \omega\leqq \dfrac{\pi}{2}$ において

$$ f(\omega)=(4\omega-\pi)\sin\omega+4\cos\omega-2

$$

である。

最後に最小値を求める。微分すると、

$$ \begin{aligned} f'(\omega) &=4\sin\omega+(4\omega-\pi)\cos\omega-4\sin\omega\\ &=(4\omega-\pi)\cos\omega \end{aligned}

$$

である。

$0\leqq \omega\leqq \dfrac{\pi}{2}$ では $\cos\omega\geqq 0$ であり、特に $0\leqq \omega<\dfrac{\pi}{2}$ では $\cos\omega>0$ である。したがって、$f'(\omega)$ の符号は $4\omega-\pi$ の符号で決まる。

よって、

$$ \begin{cases} 0\leqq \omega<\dfrac{\pi}{4} & \text{では } f'(\omega)<0,\\ \omega=\dfrac{\pi}{4} & \text{では } f'(\omega)=0,\\ \dfrac{\pi}{4}<\omega<\dfrac{\pi}{2} & \text{では } f'(\omega)>0 \end{cases}

$$

である。したがって、$f(\omega)$ は $\omega=\dfrac{\pi}{4}$ で最小となる。

そのときの値は

$$ \begin{aligned} f\left(\frac{\pi}{4}\right) &=\left(4\cdot\frac{\pi}{4}-\pi\right)\sin\frac{\pi}{4} +4\cos\frac{\pi}{4}-2\\ &=0+4\cdot\frac{\sqrt2}{2}-2\\ &=2\sqrt2-2 \end{aligned}

$$

である。

解説

絶対値付き積分では、まず中身の符号が変わる点を調べることが基本である。この問題では $\sin t=\sin\omega$ の解が $t=\omega,\ \pi-\omega$ となるため、積分区間を3つに分ける。

$f(\omega)$ を求めた後は、通常の関数の最小値問題になる。微分すると

$$ f'(\omega)=(4\omega-\pi)\cos\omega

$$

と簡単な形になるため、増減を調べればよい。

答え

**(1)**

$$ f(0)=2

$$

**(2)**

$$ f(\omega)=(4\omega-\pi)\sin\omega+4\cos\omega-2 \quad \left(0\leqq \omega\leqq \frac{\pi}{2}\right)

$$

**(3)**

最小値は

$$ 2\sqrt2-2

$$

であり、そのとき

$$ \omega=\frac{\pi}{4}

$$

である。