解説

方針・初手

$(2)$ は部分積分で $B(m,n)$ と $B(m+1,n-1)$ を結びつけるのが基本である。

$(3)$ はその漸化式を $n$ 回繰り返して $B(m+n,0)$ まで落とせばよい。

$(4)$ は区間 $[a,b]$ を $[0,1]$ に移す一次変換 $x=a+(b-a)t$ を用いると、定義そのものの形に帰着できる。

解法1

**(1)**

定義に従って計算すると、

$$ B(3,2)=\int_0^1 x^3(1-x)^2,dx =\int_0^1 (x^3-2x^4+x^5),dx

$$

である。よって、

$$ B(3,2)=\left[\frac{x^4}{4}-\frac{2x^5}{5}+\frac{x^6}{6}\right]_0^1 =\frac14-\frac25+\frac16 =\frac{15-24+10}{60} =\frac1{60}

$$

したがって、

$$ B(3,2)=\frac1{60}

$$

**(2)**

$n\geq 1$ とする。 $B(m,n)$ に対して部分積分を行う。

$$ u=(1-x)^n,\quad dv=x^m,dx

$$

とおくと、

$$ du=-n(1-x)^{n-1},dx,\quad v=\frac{x^{m+1}}{m+1}

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} B(m,n) &=\int_0^1 x^m(1-x)^n,dx \\ &=\left[\frac{x^{m+1}}{m+1}(1-x)^n\right]_0^1 +\frac{n}{m+1}\int_0^1 x^{m+1}(1-x)^{n-1},dx \end{aligned}

$$

ここで端点では $x=0$ で $x^{m+1}=0$、 $x=1$ で $(1-x)^n=0$ となるので境界項は $0$ である。したがって、

$$ B(m,n)=\frac{n}{m+1}B(m+1,n-1)

$$

**(3)**

$(2)$ の関係式を繰り返し用いる。

$$ B(m,n)=\frac{n}{m+1}B(m+1,n-1)

$$

さらに同様にして、

$$ B(m+1,n-1)=\frac{n-1}{m+2}B(m+2,n-2)

$$

であるから、これを続けると、

$$ B(m,n) =\frac{n(n-1)\cdots 1}{(m+1)(m+2)\cdots(m+n)}B(m+n,0)

$$

となる。

ここで、

$$ B(m+n,0)=\int_0^1 x^{m+n},dx=\frac1{m+n+1}

$$

であるから、

$$ B(m,n) =\frac{n!}{(m+1)(m+2)\cdots(m+n)}\cdot\frac1{m+n+1}

$$

よって、

$$ B(m,n)=\frac{n!}{(m+1)(m+2)\cdots(m+n+1)}

$$

分母を階乗で書き直すと、

$$ (m+1)(m+2)\cdots(m+n+1)=\frac{(m+n+1)!}{m!}

$$

なので、

$$ B(m,n)=\frac{m!,n!}{(m+n+1)!}

$$

**(4)**

求める積分を

$$ I=\int_a^b (x-a)^m(x-b)^n,dx

$$

とおく。

ここで、

$$ x=a+(b-a)t \qquad (0\leq t\leq 1)

$$

と変数変換すると、

$$ dx=(b-a),dt,\quad x-a=(b-a)t,\quad x-b=(a-b)(1-t)

$$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} I &=\int_0^1 \bigl((b-a)t\bigr)^m\bigl((a-b)(1-t)\bigr)^n(b-a),dt \\ &=(b-a)^{m+1}(a-b)^n\int_0^1 t^m(1-t)^n,dt \\ &=(b-a)^{m+1}(a-b)^n B(m,n) \end{aligned}

$$

$(3)$ の結果を代入すれば、

$$ I=(b-a)^{m+1}(a-b)^n\frac{m!,n!}{(m+n+1)!}

$$

よって、

$$ \int_a^b (x-a)^m(x-b)^n,dx =\frac{m!,n!}{(m+n+1)!}(b-a)^{m+1}(a-b)^n

$$

解説

この問題の中心は、$B(m,n)$ をそのまま計算しようとするのではなく、部分積分で指数を1つずつ移していく点にある。

$(2)$ の関係式 $B(m,n)=\dfrac{n}{m+1}B(m+1,n-1)$ が得られると、$n$ を減らして最終的に $B(m+n,0)$ に帰着できる。ここまで進めば単なるべき積分になるので、一般式が自然に出る。

$(4)$ は新しい問題に見えるが、一次変換で区間 $[a,b]$ を $[0,1]$ に移せば、定義そのものに戻る。特殊な積分を見たら、標準形へ変形できないかを考えるのが重要である。

答え

$$ \text{（1）}\quad B(3,2)=\frac1{60}

$$

$$ \text{（2）}\quad B(m,n)=\frac{n}{m+1}B(m+1,n-1)\qquad (n\geq 1)

$$

$$ \text{（3）}\quad B(m,n)=\frac{m!,n!}{(m+n+1)!}

$$

$$ \text{（4）}\quad \int_a^b (x-a)^m(x-b)^n,dx =\frac{m!,n!}{(m+n+1)!}(b-a)^{m+1}(a-b)^n

$$