解説

方針・初手

積分部分はそのまま微分するよりも、$u=x-t$ とおいて $f$ だけを含む形に直すのが自然である。

その後、$F''(x)=\cos x$ との比較から $f(x)$ を決め、得られた $F(x)$ を用いて区間 $-\dfrac{\pi}{2}\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ における最大値・最小値を調べる。

解法1

まず

$$ F(x)=-\frac{x}{2}+\int_x^0 t f(x-t),dt

$$

の積分部分を変形する。$u=x-t$ とおくと、$t=x-u$、$dt=-du$ である。また、$t=x$ のとき $u=0$、$t=0$ のとき $u=x$ であるから、

$$ \begin{aligned} \int_x^0 t f(x-t),dt &= -\int_0^x (x-u)f(u),du \end{aligned} $$

となる。したがって

$$ F(x)=-\frac{x}{2}-\int_0^x (x-u)f(u),du

$$

である。

これを微分する。積分の中の $(x-u)f(u)$ において、$x$ に依存する部分は $x-u$ であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{d}{dx}\int_0^x (x-u)f(u),du &= \int_0^x f(u),du \end{aligned} $$

である。よって

$$ F'(x)=-\frac12-\int_0^x f(u),du

$$

となる。さらに微分して

$$ F''(x)=-f(x)

$$

を得る。

問題の条件より $F''(x)=\cos x$ であるから、

$$ -f(x)=\cos x

$$

すなわち

$$ f(x)=-\cos x

$$

である。

これを $F(x)$ の式に代入すると、

$$ F(x)=-\frac{x}{2}+\int_0^x (x-u)\cos u,du

$$

となる。ここで

$$ \begin{aligned} \int_0^x (x-u)\cos u,du &= x\int_0^x \cos u,du-\int_0^x u\cos u,du \end{aligned} $$

である。

それぞれ計算すると、

$$ x\int_0^x \cos u,du=x\sin x

$$

また、部分積分より

$$ \begin{aligned} \int_0^x u\cos u,du &= \left[u\sin u+\cos u\right]_0^x \\ x\sin x+\cos x-1 \end{aligned} $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} \int_0^x (x-u)\cos u,du &= x\sin x-{x\sin x+\cos x-1} \\ 1-\cos x \end{aligned} $$

となる。

よって

$$ F(x)=1-\cos x-\frac{x}{2}

$$

である。

次に、$-\dfrac{\pi}{2}\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ における最大値・最小値を調べる。

$$ F'(x)=\sin x-\frac12

$$

であるから、$F'(x)=0$ となるのは

$$ \sin x=\frac12

$$

より、この区間では

$$ x=\frac{\pi}{6}

$$

のみである。

また、

$$ F''(x)=\cos x

$$

であり、$-\dfrac{\pi}{2}<x<\dfrac{\pi}{2}$ では $\cos x>0$ である。したがって $F(x)$ はこの開区間で下に凸であり、$x=\dfrac{\pi}{6}$ で最小値をとる。

端点と停留点での値を調べる。

$$ \begin{aligned} F\left(-\frac{\pi}{2}\right) &= 1-\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+\frac{\pi}{4} \\ 1+\frac{\pi}{4} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} F\left(\frac{\pi}{2}\right) &= 1-\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)-\frac{\pi}{4} \\ 1-\frac{\pi}{4} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} F\left(\frac{\pi}{6}\right) &= 1-\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)-\frac{\pi}{12} \\ 1-\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\pi}{12} \end{aligned} $$

よって、最大値は左端 $x=-\dfrac{\pi}{2}$ でとり、

$$ 1+\frac{\pi}{4}

$$

である。最小値は $x=\dfrac{\pi}{6}$ でとり、

$$ 1-\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\pi}{12}

$$

である。

解説

この問題の核心は、与えられた積分式から $F''(x)$ と $f(x)$ の関係を取り出すことである。

積分範囲が $x$ から $0$ であり、被積分関数にも $x-t$ が含まれるため、そのまま微分すると符号を誤りやすい。$u=x-t$ と置換して

$$ F(x)=-\frac{x}{2}-\int_0^x (x-u)f(u),du

$$

の形に直すと、2回微分によって

$$ F''(x)=-f(x)

$$

がすぐに分かる。

最大・最小については、$F'(x)=\sin x-\dfrac12$ を用いて停留点と端点を調べればよい。閉区間上の最大・最小なので、停留点だけでなく端点の確認が必要である。

答え

**(1)**

$$ f(x)=-\cos x

$$

$$ F(x)=1-\cos x-\frac{x}{2}

$$

**(2)**

最大値は、$x=-\dfrac{\pi}{2}$ のとき

$$ 1+\frac{\pi}{4}

$$

最小値は、$x=\dfrac{\pi}{6}$ のとき

$$ 1-\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\pi}{12}

$$