解説

方針・初手

既知の和の公式を用いて分子・分母をそれぞれ $n$ の式で表し、最高次の振る舞いを比較する。 この問題では

$$ 1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}

$$

および

$$ 1^4+2^4+\cdots+n^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}

$$

を使うのが最も直接的である。

解法1

与えられた極限を

$$ L=\lim_{n\to\infty}\frac{(1+2+\cdots+n)^5}{(1+2^4+3^4+\cdots+n^4)^2}

$$

とおく。

和の公式より、

$$ 1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}

$$

また、

$$ 1^4+2^4+\cdots+n^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}

$$

であるから、

$$ L=\lim_{n\to\infty} \frac{\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^5} {\left(\dfrac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}\right)^2}

$$

となる。

定数部分を整理すると、

$$ L=\frac{30^2}{2^5}\lim_{n\to\infty} \frac{n^5(n+1)^5}{n^2(n+1)^2(2n+1)^2(3n^2+3n-1)^2}

$$

すなわち、

$$ L=\frac{900}{32}\lim_{n\to\infty} \frac{n^3(n+1)^3}{(2n+1)^2(3n^2+3n-1)^2}

$$

である。

ここで分子・分母を $n^6$ で割ると、

$$ L=\frac{900}{32}\lim_{n\to\infty} \frac{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^3} {\left(2+\dfrac{1}{n}\right)^2\left(3+\dfrac{3}{n}-\dfrac{1}{n^2}\right)^2}

$$

となるので、$n\to\infty$ とすると

$$ L=\frac{900}{32}\cdot\frac{1}{2^2\cdot 3^2} =\frac{900}{32}\cdot\frac{1}{36} =\frac{25}{32}

$$

を得る。

解説

この問題の要点は、分子と分母がどちらも大きな $n$ に対して同じ次数で増大することを見抜くことである。 実際、

$$ 1+2+\cdots+n

$$

は $n^2$ 程度、

$$ 1^4+2^4+\cdots+n^4

$$

は $n^5$ 程度であるから、全体では分子も分母もともに $n^{10}$ 程度となり、極限は有限の定数に落ち着く。

したがって、和の公式を用いて最高次の項を丁寧に比較すればよい。無理に展開しきる必要はなく、$n$ でくくって極限をとるのが自然である。

答え

$$ \frac{25}{32}

$$