解説

方針・初手

階乗の比をそのまま扱うよりも、

$$ \frac{(4n)!}{(3n)!}=(3n+1)(3n+2)\cdots(4n)

$$

と積に直し、その $n$ 乗根を考えるのが自然である。

このとき対数をとると和に変わるので、リーマン和として極限を求められる。

解法1

求める極限を

$$ a_n=\frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{(4n)!}{(3n)!}}

$$

とおく。

まず、

$$ \frac{(4n)!}{(3n)!}=(3n+1)(3n+2)\cdots(4n)

$$

であるから、

$$ a_n=\frac{1}{n}\sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n}(3n+k)}

$$

となる。

ここで対数をとると、

$$ \log a_n = -\log n+\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\log(3n+k)

$$

である。

さらに

$$ \log(3n+k)=\log n+\log\left(3+\frac{k}{n}\right)

$$

より、

$$ \begin{aligned} \log a_n &= -\log n+\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \left( \log n+\log\left(3+\frac{k}{n}\right) \right) \\ &= -\log n+\log n+\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\log\left(3+\frac{k}{n}\right) \\ &= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\log\left(3+\frac{k}{n}\right) \end{aligned}

$$

を得る。

右辺は関数 $\log(3+x)$ のリーマン和であるから、

$$ \lim_{n\to\infty}\log a_n = \int_0^1 \log(3+x)\,dx

$$

となる。

この積分を計算すると、

$$ \int \log(3+x)\,dx=(3+x)\log(3+x)-(3+x)

$$

より、

$$ \begin{aligned} \int_0^1 \log(3+x)\,dx &= \left[(3+x)\log(3+x)-(3+x)\right]_0^1 \\ &= (4\log 4-4)-(3\log 3-3) \\ &= 4\log 4-3\log 3-1 \end{aligned}

$$

である。

したがって、

$$ \lim_{n\to\infty}\log a_n=4\log 4-3\log 3-1

$$

なので、

$$ \lim_{n\to\infty}a_n = e^{4\log 4-3\log 3-1} = \frac{4^4}{3^3e} = \frac{256}{27e}

$$

となる。

解法2

スターリングの公式

$$ n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \qquad (n\to\infty)

$$

を用いる。

すると、

$$ (4n)!\sim \sqrt{8\pi n}\left(\frac{4n}{e}\right)^{4n}, \qquad (3n)!\sim \sqrt{6\pi n}\left(\frac{3n}{e}\right)^{3n}

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{(4n)!}{(3n)!} &\sim \sqrt{\frac{8\pi n}{6\pi n}} \cdot \frac{(4n/e)^{4n}}{(3n/e)^{3n}} \\ &\sim \sqrt{\frac{4}{3}} \cdot \frac{4^{4n}n^{4n}e^{-4n}}{3^{3n}n^{3n}e^{-3n}} \\ &\sim \sqrt{\frac{4}{3}} \cdot \frac{4^{4n}}{3^{3n}} \cdot n^n e^{-n} \end{aligned}

$$

となる。

よってその $n$ 乗根は

$$ \sqrt[n]{\frac{(4n)!}{(3n)!}} \sim \left(\sqrt{\frac{4}{3}}\right)^{1/n} \cdot \frac{4^4}{3^3} \cdot n \cdot e^{-1}

$$

である。したがって、

$$ \frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{(4n)!}{(3n)!}} \sim \left(\sqrt{\frac{4}{3}}\right)^{1/n} \cdot \frac{4^4}{3^3e}

$$

となり、$\left(\sqrt{4/3}\right)^{1/n}\to 1$ より

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{(4n)!}{(3n)!}} = \frac{4^4}{3^3e} = \frac{256}{27e}

$$

を得る。

解説

$n$ 乗根がついている積の極限では、対数をとって平均の形に直すとリーマン和に落ちることが多い。本問も

$$ \log\left(\frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{(4n)!}{(3n)!}}\right)

$$

を考えることで、$\log(3+x)$ の積分に帰着できるのが本質である。

一方、スターリングの公式を知っていれば計算はさらに直接的である。ただし、どちらの方法でも最終的に $n$ の次数と定数因子を正確に整理する必要がある。

答え

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{(4n)!}{(3n)!}} = \frac{256}{27e}

$$