解説

方針・初手

和の一般項は

$$ \frac{1}{\sin \dfrac{\pi(n+k)}{4n}} =\frac{1}{\sin \left( \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{4n} \right)} \qquad (k=1,2,\dots,n)

$$

と書ける。したがって，この極限は連続関数のリーマン和として処理するのが自然である。

解法1

与えられた式を

$$ L_n=\frac{\pi}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sin \dfrac{\pi(n+k)}{4n}}

$$

とおく。

まず，分母の角を整理すると

$$ \frac{\pi(n+k)}{4n}=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{4n}

$$

であるから，

$$ L_n=\pi \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}, \frac{1}{\sin \left( \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{4}\cdot \dfrac{k}{n} \right)}

$$

となる。

ここで

$$ f(x)=\frac{1}{\sin \left( \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{4}x \right)} =\frac{1}{\sin \dfrac{\pi(1+x)}{4}}

$$

とおくと，$f(x)$ は区間 $[0,1]$ で連続である。よってリーマン和の極限より，

$$ \lim_{n\to\infty}L_n =\pi \int_{0}^{1}\frac{dx}{\sin \dfrac{\pi(1+x)}{4}}

$$

となる。

この積分を計算する。置換

$$ t=\frac{\pi(1+x)}{4}

$$

を用いると，

$$ dt=\frac{\pi}{4},dx,\qquad dx=\frac{4}{\pi},dt

$$

であり，$x=0$ のとき $t=\dfrac{\pi}{4}$，$x=1$ のとき $t=\dfrac{\pi}{2}$ だから，

$$ \pi \int_{0}^{1}\frac{dx}{\sin \dfrac{\pi(1+x)}{4}} =4\int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{dt}{\sin t}

$$

を得る。

ここで

$$ \int \csc t,dt=\log \tan \frac{t}{2}+C

$$

であるから，

$$ 4\int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{dt}{\sin t} =4\left[\log \tan \frac{t}{2}\right]_{\pi/4}^{\pi/2}

$$

$$ =4\left(\log \tan \frac{\pi}{4}-\log \tan \frac{\pi}{8}\right) =4\left(\log 1-\log \tan \frac{\pi}{8}\right)

$$

$$ =-4\log \tan \frac{\pi}{8}

$$

となる。

さらに半角公式より

$$ \tan \frac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1

$$

であるから，

$$ -4\log(\sqrt{2}-1) =4\log \frac{1}{\sqrt{2}-1} =4\log(\sqrt{2}+1)

$$

となる。

したがって，

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{\pi}{n}\left( \frac{1}{\sin \dfrac{\pi(n+1)}{4n}} +\frac{1}{\sin \dfrac{\pi(n+2)}{4n}} +\cdots+ \frac{1}{\sin \dfrac{\pi(n+n)}{4n}} \right) =4\log(\sqrt{2}+1)

$$

である。

解説

この問題の本質は，和の中の角が

$$ \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\cdot \frac{k}{n}

$$

という形になっていることを見抜き，$\dfrac{1}{n}$ を含むリーマン和に直すことである。

分母に $\sin$ があるが，積分区間に対応する角は $\left[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right]$ にあり，$\sin t=0$ となる点を含まない。したがって被積分関数は連続で，そのまま定積分に移してよい。

答え

$$ 4\log(\sqrt{2}+1)

$$