解説

方針・初手

与えられた和を、そのままではなく $n$ のべきで整理してリーマン和の形に直すのが基本方針である。

指数に注目すると

$$ \frac{1}{n^{\frac{2m-1}{m}}}\sum_{k=1}^{n}k^{\frac{m-1}{m}}

$$

は、各項の $k^{\frac{m-1}{m}}$ から $n^{\frac{m-1}{m}}$ をくくることで $\frac{1}{n}\sum f\left(\frac{k}{n}\right)$ の形になる。

解法1

与式を変形すると

$$ \begin{aligned} \frac{1}{n^{\frac{2m-1}{m}}}\sum_{k=1}^{n}k^{\frac{m-1}{m}} &= \sum_{k=1}^{n}\frac{k^{\frac{m-1}{m}}}{n^{\frac{2m-1}{m}}} \end{aligned} $$

である。

ここで

$$ \begin{aligned} n^{\frac{2m-1}{m}} &= n\cdot n^{\frac{m-1}{m}} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{k^{\frac{m-1}{m}}}{n^{\frac{2m-1}{m}}} &= \frac{1}{n}\left(\frac{k}{n}\right)^{\frac{m-1}{m}} \end{aligned} $$

となる。したがって与式は

$$ \begin{aligned} \frac{1}{n^{\frac{2m-1}{m}}}\sum_{k=1}^{n}k^{\frac{m-1}{m}} &= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^{\frac{m-1}{m}} \end{aligned} $$

と書ける。

ここで $m\geqq 2$ なので $\frac{m-1}{m}>0$ であり、 関数

$$ f(x)=x^{\frac{m-1}{m}}

$$

は区間 $[0,1]$ 上で連続である。よってこれはリーマン和であり、

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^{\frac{m-1}{m}} &= \int_{0}^{1}x^{\frac{m-1}{m}},dx \end{aligned} $$

となる。

この積分を計算すると

$$ \begin{aligned} \int_{0}^{1}x^{\frac{m-1}{m}},dx &= \left[\frac{x^{\frac{2m-1}{m}}}{\frac{2m-1}{m}}\right]_{0}^{1} \\ \frac{m}{2m-1} \end{aligned} $$

である。

したがって極限値は

$$ \frac{m}{2m-1}

$$

となる。

解説

この問題の本質は、複雑に見える和をリーマン和に見抜けるかどうかである。

特に

$$ n^{\frac{2m-1}{m}}=n\cdot n^{\frac{m-1}{m}}

$$

と分けると、

$$ \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)

$$

の標準形が現れる。あとは対応する関数 $f(x)=x^{\frac{m-1}{m}}$ の定積分を計算すればよい。

答え

$$ \frac{m}{2m-1}

$$

したがって、$\boxed{\text{⑦}=\frac{m}{2m-1}}$ である。